Factorisation de polynômes.

Réponses

• Poirot

  April 2018

  Dans $\mathbb C$ on a un gros avantage : on sait que les polynômes (non constants) sont scindés, donc il suffit de trouver les racines du polynôme et leurs multiplicités. Donc il faut savoir trouver des racines : soit on cherche par tâtonnement, soit on a de la chance et le polynôme a des racines évidentes. C'est le cas par exemple de ton $X^{12} - 1$. C'est aussi le cas de ton dernier polynôme si tu as en tête le résultat de la sommation d'une progression géométrique.
  
  Pour factoriser dans $\mathbb R$, il est souvent assez simple de factoriser d'abord dans $\mathbb C$ puis de regrouper ensemble les racines conjuguées pour obtenir les facteurs irréductibles réels de degré $2$ (avec leurs multiplicités).
• gerard0

  April 2018

  Bonjour.
  
  Pour $P=2X^4 +32$, il y a une factorisation évidente, puis tu peux factoriser dans $\mathbb C$ (avec les racines), ou remarquer que $X^4+16=(X^4+8X^2+16)-8x^2$ et obtenir une factorisation dans $\mathbb R$ (différence de carrés).
  
  Pour $P= (X+1)^7 - X^7 - 1$ , on sait qu'il y a une factorisation par X+1 ( $X^7+1$ est de la forme $X^n+1^n$ pour n impair), mais on le fera après avoir développé, simplifié et factorisé. la factorisation se finit bien.
  
  Pour $P= X^{12} - 1$, les règles élémentaires suffisent (identités remarquables)
  
  Pour $P=X^4 - X^3+X^2-X+1$ on voit tout de suite la somme de termes d'une série géométrique.
  
  Autrement dit, "Je n'arrive jamais à savoir comment faire" est seulement le manque de vraies connaissances sur les règles de développement et de factorisation (identités remarquables, transformations algébriques courantes, ...).
  A savoir : Si c'est un exercice de factorisation, c'est qu'il y a une des méthodes classiques qui convient. Il faut chercher laquelle, essayer. Car à priori, un polynôme quelconque n'a pas de factorisation par les méthodes élémentaires.
  
  Cordialement.