Matrices

Bonjour,

J'ai fait toutes les questions - Que pensez-vous pour les deux dernières (4 et 5) ? Peut-être améliorer la rédaction ?

Un réseau comprend trois pages A, B et C.
Les liens sont indiquées dans le graphe.
Un employé navigue de façon aléatoire.
A chaque clic il choisit de façon équiprobable un des liens.
Apres $n$ clics, on note $X_n$ la variable aléatoire donnant la page sur laquelle se trouve l’employé et $P_n$ la matrice ligne $(p(X_n=A) p(X_n=B) p(X_n=C))$.

1) Ecrire la matrice $M$ telle que $P_{n+1}=P_nM$, en déduire une relation entre $P_n$, $M$ et $P_0$.
2) a) Soit $Q=\begin{pmatrix}1&1&2\\
1&1&-4\\
1&-2&4\\
\end{pmatrix}$.

Calculer $H=Q^{-1}MQ$ et montrer que $H=D+T$ où $D=\begin{pmatrix}1&0&0\\
0&-0,5&0\\
0&0&-0,5\\
\end{pmatrix}$ et $T=\begin{pmatrix}0&0&0\\
0&0&1\\
0&0&0\\
\end{pmatrix}$
2) b) Montrer que pour tout $n \geq 1$ on a $D^nT=(-0,5)^nT$.
3) Montrer que pour tout $n \ge 1$ on a $H^n=D^n+n(-0,5)^{n-1}T$.
4) Exprimer $P_n$ en fonction de $n$.
5) Déterminer la limite de la suite $(P_n)$ et justifier qu'elle ne dépend pas de l'état initial.
En déduire quelle page web sera atteinte avec la plus grande probabilité après un grand nombre de clics.

4)

$P_n=P_0 \times M^n$
$P_n=P_0 \times (Q(D+T)^nQ^{-1})$
où $P_0=(p(X_0=A) p(X_0=B) p(X_0=C))$

$M^n=\begin{pmatrix}\dfrac{2}{9}-\dfrac{3n-7}{9}\,(-0.5)^n&\dfrac{4}{9}+\dfrac{3n-4}{9}\,(-0.5)^n&\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3}\,(-0.5)^n\\\\\dfrac{2}{9}-\dfrac{3n+2}{9}\,(-0.5)^n&\dfrac{4}{9}+\dfrac{3n+5}{9}\,(-0.5)^n&\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3}\,(-0.5)^n\\\\\dfrac{2}{9}+\dfrac{6n-2}{9}\,(-0.5)^n&\dfrac{4}{9}-\dfrac{6n+4}{9}\,(-0.5)^n&\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\,(-0.5)^n\\\end{pmatrix}$
De plus, la suite $(P_n)$ ne dépend pas de l'état initial $P_0$.

5) $\lim_{n\to +\infty} M^n =$ $M_{\infty}=\begin{pmatrix}
\dfrac{2}{9}&\dfrac{4}{9}&\dfrac{1}{3}\\
\dfrac{2}{9}&\dfrac{4}{9}&\dfrac{1}{3}\\
\dfrac{2}{9}&\dfrac{4}{9}&\dfrac{1}{3}
\end{pmatrix}$

$\lim_{n\to +\infty} P_n=P_0M_{\infty}=\begin{pmatrix}
\dfrac{2}{9}&\dfrac{4}{9}&\dfrac{1}{3}
\end{pmatrix}$
On atteint cet état stable qui ne dépend pas de l'état initial.

« quelle page web sera atteinte avec la plus grande probabilité après un grand nombre de clics ? »
C'est la B avec une probabilité de 4/9 !