Un exercice CM2/6e

Dom · April 2018

Bonsoir à tous,

Il s'agit d'un exercice proposé au Rallye Maths de l'académie de Versailles.

J'ai les solutions de ce problème, j'en trouve 24 qui sont "génératrices" des autres. Je veux dire par là que je ne compte pas deux fois les solutions qui se déduisent des autres par des arguments de symétries ou de légers échanges de nombres.
NB : le nombre 24 est peut-être même un peu trop grand si l'on s'accorde sur la manière de les distinguer.

Ma question est la suivante : en dehors du contexte du secondaire, quelles méthodes voyez-vous pour plier cet exercice ? Des graphes ? autre chose ?

Quelqu'un pourrait-il sortir un code, même bourrin, pour lister les solutions ?

[small]Digression : d'ailleurs, comment programmer l'exhaustivité de toutes les permutations de [1..10] ?
Une histoire de récursivité ?
On peut réduire la recherche d'ailleurs et ne déterminer, dans un premiers temps, que "les quatre nombres au milieu".[/small]

La page : http://blog.ac-versailles.fr/92rallyemath20152016/index.php/post/11/04/2018/Epreuve-5-CM2/6#attachments

Le pdf : http://blog.ac-versailles.fr/92rallyemath20152016/public/EPREUVES_CM2_6/Epreuve_5/01_Enonces_Interdegre_Ep5.pdf

L'exercice concerné en capture écran.

Cordialement. 75518

Math Coss · April 2018

Sage trouve 224 solutions (liste jointe, en numérotant de gauche à droite et de haut en bas).
Si tu veux passer à 24, il faut dire ce que tu identifies.

Code débile :

def teste(L):                                      
    b = L[0]+L[1]+L[2]+L[5]==20
    b = b and L[3]+L[4]+L[5]+L[8]==20
    b = b and L[1]+L[4]+L[5]+L[6]==20
    b = b and L[4]+L[7]+L[8]+L[9]==20
    return b
G = SymmetricGroup(10)
L = [g.tuple() for g in G if teste(g.tuple())]

GaBuZoMeu · April 2018

Une première étape : la somme des deux triangles blancs doit être égale à 15.

Dom · April 2018

Yep @GaBuZoMeu, c'est comme ça que j'ai fait après avoir vu que la somme des quatre triangles non blancs et entourés en rouge vaut 25 (en doublant les plus au milieu).

Puis du tâton.

Merci beaucoup @Math Coss ;-)

bisam · April 2018

@Dom et Math Coss : On peut réduire le nombre de solutions en remarquant que les paires (L[0], L[2]) et (L[7], L[9]), correspondant aux deux petits triangles extérieurs sur les lignes du haut et du bas respectivement, peuvent toujours être échangés.
On peut donc diviser le nombre de résultats par 4 en ne gardant, par exemple, que ceux pour lesquels L[0] < L[2] et L[7] < L[9].
Par ailleurs, par symétrie centrale, on peut également ajouter une contrainte supplémentaire comme par exemple L[3] < L[6] et diviser encore par 2 le nombre de résultats.

Il en reste alors 28 différents.
Je ne vois pas comment arriver à 24...

Math Coss · April 2018

Comme l'insinue Bisam, on a bien l'égalité $224=8\times28$. Voici ce qu'il reste après tri alphabétique :

(1, 4, 9, 7, 2, 6, 8, 3, 5, 10),
 (1, 4, 10, 6, 2, 5, 9, 3, 7, 8),
 (1, 5, 10, 6, 2, 4, 9, 3, 8, 7),
 (1, 5, 10, 7, 3, 4, 8, 2, 6, 9),
 (2, 1, 10, 6, 3, 7, 9, 5, 4, 8),
 (2, 3, 9, 5, 1, 6, 10, 4, 8, 7),
 (2, 5, 9, 7, 3, 4, 8, 1, 6, 10),
 (2, 5, 10, 7, 4, 3, 8, 1, 6, 9),
 (2, 7, 8, 6, 1, 3, 9, 4, 10, 5),
 (3, 1, 9, 5, 2, 7, 10, 4, 6, 8),
 (3, 1, 10, 7, 5, 6, 8, 4, 2, 9),
 (3, 2, 7, 6, 1, 8, 9, 4, 5, 10),
 (3, 4, 8, 6, 2, 5, 9, 1, 7, 10),
 (3, 5, 10, 6, 4, 2, 9, 1, 8, 7),
 (3, 9, 6, 7, 1, 2, 8, 4, 10, 5),
 (4, 1, 8, 5, 2, 7, 10, 3, 6, 9),
 (4, 1, 9, 7, 5, 6, 8, 3, 2, 10),
 (4, 1, 10, 7, 6, 5, 8, 3, 2, 9),
 (4, 2, 5, 7, 1, 9, 8, 6, 3, 10),
 (4, 3, 7, 5, 1, 6, 10, 2, 8, 9),
 (4, 7, 8, 6, 3, 1, 9, 2, 10, 5),
 (4, 9, 5, 7, 1, 2, 8, 3, 10, 6),
 (4, 9, 6, 7, 2, 1, 8, 3, 10, 5),
 (5, 2, 9, 7, 6, 4, 8, 1, 3, 10),
 (7, 1, 10, 6, 8, 2, 9, 3, 4, 5),
 (7, 2, 10, 6, 8, 1, 9, 3, 5, 4),
 (7, 3, 9, 5, 6, 1, 10, 2, 8, 4),
 (8, 1, 9, 5, 7, 2, 10, 3, 6, 4)

Comme la maison ne recule devant aucun sacrifice, ci-joint une présentation plus lisible.

NB : pour si jamais : sage: H = PermutationGroup((1,3)],[(8,10)],[(1,10),(2,9),(3,8),(4,7),(5,6))

Edit : correction de la coquille signalée par Félix plus bas. J'en profite pour ajouter le code python qui fait le tex qui fait le pdf.

Dom · April 2018

Bonjour,

Merci pour vos belles contributions ;-)

J'aurais dû dire 22, je m'explique : comme déjà dit les triangles 1/3 sont échangeables comme les triangles 8/10.

Lors de la recherche si on tombe sur une solution telle que $L[0]+L[2]=L[7]+L[9]$, alors on en a directement une autre en échangeant 1/8 et 3/10. Le cœur de la grille (encadré en rouge) ne change pas.
Edit : indice $k$ dans $L[k]$ pour reprendre les notations de @bisam

Sauf erreur on compte 6 cas comme ça.
Dans le magnifique pdf (tu) de @Math Coss, cela correspond (de gauche à droite, de haut en bas) aux couples de figures solutions suivants :
Solutions : 2/13
Solutions : 4/7
Solutions : 6/20
Solutions : 10/16
Solutions : 11/17
Solutions : 15/22

Au plaisir.

Après l'étape 1 décrite par @GaBuZoMeu, j'essaye de chercher une autre étape permettant de restreindre «le tâton»*.

[small]*Le terme "le tâton" n'existe apparemment pas, ni même "les tâtons". Seule l'expression "à tâtons" semble utiliser le mot au pluriel. [/small]