Produit scalaire non canonique de $\R^n$

ph
ph
dans Algèbre
Bonjour,

Je suis en MPSI, pour mon tipe je dois prouver que la norme définie par $\|x\|= \sum\limits_{i=1}^n |x_i|$ (sur $\mathbb{R}^n$) est bien une norme avec les propriétés usuelles.
Pour cela je cherche à trouver un produit scalaire tel que $\sqrt{<x \, | \, x>} = \sum\limits_{i} |x_i|$ (qui respecte bien la définition de produit scalaire i.e. $<\cdot \, | \, \cdot> $ est une application symétrique, bilinéaire, positive et définie).

Si vous avez des idées et/ou que vous connaissez des produits scalaires non canoniques sur $\mathbb{R}^n$, je vous en serais reconnaissant.

Merci par avance.

Réponses

  • Dom
    Dom
    Attention, certaines normes ne sont pas issues d'un produit scalaire...

    Pourquoi as-tu choisi cette piste ?

    N'as-tu pas une définition de "norme" qui contient quelques propriétés à vérifier ?
  • ph
    ph
    Merci de ta réponse.

    Ah, je ne savais pas.

    J'ai choisi cette piste car je ne connais pas d'autre moyen de définir une norme. (Cette notion est toue nouvelle pour moi :-) )

    Pour moi la définition de la norme de $x$ est $\|x\|=\sqrt{<x \mid x>}$ ce qui implique $\|x\| > 0$ , $\| \lambda \times x\| = | \lambda | \times \|x\|$ et $\|x\|=0 \Leftrightarrow x=0_{\mathbb{R}^n}$. Mais je n'ai besoin que de $\| \lambda \times x\| = | \lambda | \times \|x\|$ je crois.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Tu peux lire la définition d'un espace vectoriel normé dans cette page wikipedia.
  • Dom
    Dom
    Ok.
    Tu ne donnes pas la définition d'une norme mais tu rappelles ce qu'il suffit de vérifier (sauf l'inégalité triangulaire !).
    Oublie cette histoire de produit scalaire.

    Une coquille mais c'est certainement dû au clavier (le symbole n'y est pas) : ce n'est pas > 0 mais $\ge 0$.

    Le lien proposé par @GaBuZoMeu explicite les trois "choses" à vérifier.

    Allez, au boulot !
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    tu rappelles ce qu'il suffit de vérifier.
    Non, ce n'est pas suffisant. Revoir la définition.
  • Dom
    Dom
    [size=x-small][small]Mode mauvaise foi activé :[/small][/size]

    Mais voyons, m'auras-tu mal lu, @GaBuZoMeu !

    [size=x-small][small]Mode mauvaise foi désactivé ![/small][/size]
  • ph
    ph
    @Dom merci beaucoup :-), en effet passer directement par cette définition de norme est même simple, c'est la manière de définir la norme dans le cours de MPSI qui m'a induit en erreur.

    Et pour un exemple de produit scalaire non canonique sur $\mathbb{R}^n$ ?
  • Dom
    Dom
    Un produit scalaire est aussi un objet qui vérifie des conditions.
    La pga Wiki fournit très tardivement la définition donc je fournis un cliché.

    Sais-tu pourquoi tu as titré "produit scalaire non canonique" d'ailleurs ?75550
  • ph
    ph
    Oui d'accord. Mais as-tu un exemple, autre que le produit scalaire canonique, qui vérifie ces conditions (sur $\mathbb{R}^n$) ?

    Je l'ai (mal) titré ainsi car je pensais que c'était la solution pour définir ma norme.
  • Dom
    Dom
    Comme ça, sur $\mathbb R$, par exemple on peut donner le produits scalaire : $(x;y) \mapsto 100<x;y>$.
    En gros, on multiple le produit scalaire connu par 100 (ou un autre nombre strictement positif).

    En existe-t-il d'autres sortes sur $\mathbb R$ ? Hum...

    Sur $\mathbb R^2$ on a par exemple : $((x_1,x_2);(y_1,y_2)) \mapsto 7x_1y_1+12x_2y_2$.
    J'ai pris $7$ et $12$ comme çà.

    En existe-t-il d'autres sortes ? Hum...

    Remarque :
    Sur $\mathbb R$ les seules normes sont de la forme : $x\mapsto k|x|$ où $k$ est strictement positif.
    Sur $\mathbb R^2$ on a plein de formes de normes.
  • Tryss
    Tryss
    Dom a écrit:
    Sur $\mathbb R^2$ on a plein de formes de normes.

    Il me semble que sur $\mathbb{R}^n$, toute norme dérive d'un convexe $C$ borné, qui contient un voisinage de $0$ et tel que $C=-C$. On pose alors :

    $\|x\|_C = \inf \{ \lambda \in \mathbb{R}^+ : x\in \lambda C \}$

    (convexe, pour la sous-additivité ; borné pour avoir la séparation, $C=-C$ pour l'homogénéité et contenant un voisinage de $0$ pour que la norme soit finie)

    Pour la réciproque : si on a une norme $\| . \|$ on prend pour convexe la boule unité
  • ph
    ph
    Dom écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1644596,1644642#msg-1644642
    > Comme ça, sur $\mathbb R$, par exemple on peut donner le produits scalaire : $(x;y) \mapsto 100<x;y>$.
    > En gros, on multiple le produit scalaire connu par 100 (ou un autre nombre strictement positif).

    Pourquoi limites-tu ton exemple à $\mathbb{R}$ ? Cette manière de définir un produit scalaire non canonique me semble marcher pour tout espace préhilbertien.

    @Tryss, il me manque la notion de convexe. Je vais me renseigner pour pouvoir décrypter ton message. :-)
  • Dom
    Dom
    Oui, tout à fait ça fonctionne, bien sûr.
    La somme de deux produits scalaires fonctionne aussi et donc des combinaisons linéaires de produits scalaires.

    Pour le cas de $\mathbb R$ j'ai dû penser à une réciproque...
    Quelqu'un aurait une preuve ? Ou une preuve du contraire ?
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Dom écrivait :
    > Pour le cas de $\mathbb R$ j'ai dû penser à une réciproque...
    > Quelqu'un aurait une preuve ? Ou une preuve du contraire ?

    Qu'est-ce que tu veux dire ? Il est bien clair que toute forme bilinéaire $b$ sur $\mathbb R\times \mathbb R$ s'écrit $(x,y)\mapsto b(1,1) xy$, non ?
  • Dom
    Dom
    De mon bus :
    Oui tout à fait. 8-)
    C'est le "il est bien clair" que je pensais plus difficile.
    On sort tout simplement les $x$ et $y$...

    Tu viens de me mettre une bonne pichenette sur l'oreille ;-)
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