Noyau et image d'un application linéaire

Bonjour,

On me donne la matrice $A = \begin{pmatrix}
1 & -1 & 2 \\
-2 & 1 & -3 \\
-1 & 1 & -2
\end{pmatrix}$

Il s'agit de la matrice d'un endomorphisme f de $R^3$ dans $R^3$ dans la base canonique de $R^3$.
La question est toute simple je dois trouver son le noyau et l'image cette application mais j'ai un problème.

Voici comment je procède :

On a $Im(f) = Vect(\begin{pmatrix}
1 \\
-2 \\
-1
\end{pmatrix};
\begin{pmatrix}
-1 \\
1 \\
1
\end{pmatrix};
\begin{pmatrix}
2 \\
-3 \\
-2
\end{pmatrix})$

Mais comme $\begin{pmatrix}
1 \\
-2 \\
-1
\end{pmatrix}-
\begin{pmatrix}
-1 \\
1 \\
1
\end{pmatrix} -
\begin{pmatrix}
2 \\
-3 \\
-2
\end{pmatrix}=0$

J'ai juste $Im(f) = Vect(\begin{pmatrix}
1 \\
-2 \\
-1
\end{pmatrix};
\begin{pmatrix}
-1 \\
1 \\
1
\end{pmatrix})$

Puis par la formule du rang j'ai dim $Ker(f) = 1$ et vu l'égalité ci-dessus j'ai $e_1 - e_2 - e_3 \in Ker(f)$
donc $Ker(f) = Vect(\begin{pmatrix}
1 \\
-1 \\
-1
\end{pmatrix}$

Sauf que ce vecteur $\begin{pmatrix}
1 \\
-1 \\
-1
\end{pmatrix}$ appartient déjà à Im(f) est-ce que cela pose un problème ? Si oui, où est l'erreur dans mon raisonnement ?

Merci par avance pour votre aide
Bonne soirée