Soit M une matrice régulière dans C et G un inverse à gauche. Si la M est de dimensioin finie, on démontre assez facilement que G est aussi inverse à droite; mais en est-il de même si la dimension de M est infinie?
Pour vérification : « dans C », ça veut dire « à coefficients complexes » ?
Au lieu de penser à des matrices, pensons à des applications linéaires.
Et puis tiens, au lieu de penser à des applications linéaires, pensons à des applications tout court. Est-il vrai que si une application $f:\N\to\N$ admet un inverse à gauche, alors elle admet un inverse à droite ?
À partir d'un contre-exemple, on en déduit un endomorphisme linéaire $\varphi$ sur un espace admettant une base $(e_n)_{n\in\N}$ (par exemple en définissant $\varphi(e_n)=e_{f(n)}$ pour tout $n$, ça a de bonnes chances de marcher) puis la matrice $M$ de $\varphi$ a de bonnes chances d'être un contre-exemple.
Tant que tu y es, tu pourrais aussi inverser le rôle de la gauche et de la droite.
Merci Math Cross pour tes observations.
C désigne en effet le corps des complexes.
Gauche et Droite peuvent être inversées, c’est sans importance.
Je démontre qu’un inverse à gauche l’est aussi à droite (ou inversement) en passant par les vecteurs propres de M (qui sont aussi ceux de G). Mais si le nombre de ces vecteurs est infini, que se passe-t-il? Cantor nous a appris à nous méfier de l’infini, et j’en suis là.
Il s’agit d’une matrice de dimension infinie admettant (au moins) un inverse d’un côté.
Ma question provient de la mécanique quantique où les matrices infinies sont au menu quotidien. Mais là, on n’en est plus à une contradiction près. Par exemple, le commutateur des opérateurs Position et Moment cinétique est un scalaire (complexe d’ailleurs). En représentation matricielle, c’est la matrice unité multipliée par un scalaire. Or, la trace de cette matrice est infinie alors que la trace d’un commutateur est toujours nulle…
Dans l'espace vectoriel $E=\R[X]$, si on considère les endomorphismes $f=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}X}:P\mapsto P'$ et $g=m_X:P\mapsto XP$, on a bien $[f,g]=\mathrm{id}$ : il n'y a pas de contradiction.
Dans un espace de dimension dénombrable, disons avec une base indexée par $\N$, si on écrit la matrice $(a_{ij})_{i,j\in\N}$ d'un endomorphisme dans cette base, la trace pourrait être $\sum_{i\in\N}a_{ii}$ : cette somme n'est pas toujours définie. La notion de trace est donc une spécificité de la dimension finie (qu'on essaie d'étendre en dimension finie, voir par exemple ici).
Réponses
Au lieu de penser à des matrices, pensons à des applications linéaires.
Et puis tiens, au lieu de penser à des applications linéaires, pensons à des applications tout court. Est-il vrai que si une application $f:\N\to\N$ admet un inverse à gauche, alors elle admet un inverse à droite ?
À partir d'un contre-exemple, on en déduit un endomorphisme linéaire $\varphi$ sur un espace admettant une base $(e_n)_{n\in\N}$ (par exemple en définissant $\varphi(e_n)=e_{f(n)}$ pour tout $n$, ça a de bonnes chances de marcher) puis la matrice $M$ de $\varphi$ a de bonnes chances d'être un contre-exemple.
Tant que tu y es, tu pourrais aussi inverser le rôle de la gauche et de la droite.
C désigne en effet le corps des complexes.
Gauche et Droite peuvent être inversées, c’est sans importance.
Je démontre qu’un inverse à gauche l’est aussi à droite (ou inversement) en passant par les vecteurs propres de M (qui sont aussi ceux de G). Mais si le nombre de ces vecteurs est infini, que se passe-t-il? Cantor nous a appris à nous méfier de l’infini, et j’en suis là.
Ma question provient de la mécanique quantique où les matrices infinies sont au menu quotidien. Mais là, on n’en est plus à une contradiction près. Par exemple, le commutateur des opérateurs Position et Moment cinétique est un scalaire (complexe d’ailleurs). En représentation matricielle, c’est la matrice unité multipliée par un scalaire. Or, la trace de cette matrice est infinie alors que la trace d’un commutateur est toujours nulle…
Dans un espace de dimension dénombrable, disons avec une base indexée par $\N$, si on écrit la matrice $(a_{ij})_{i,j\in\N}$ d'un endomorphisme dans cette base, la trace pourrait être $\sum_{i\in\N}a_{ii}$ : cette somme n'est pas toujours définie. La notion de trace est donc une spécificité de la dimension finie (qu'on essaie d'étendre en dimension finie, voir par exemple ici).