Orthogonale et produit scalaire

abdolahbd · April 2018

Bonjour :-)
Soit V Hilbert, le cône normal à l'ensemble convexe A au point a (a appartient à A) est défini par :
B={z appartient à V tq <z,x-a> <=0 ,qlq soit x appartient à A }.
Ma question :
Je ne comprends pas pourquoi on considère le produit scalaire <z,x-a> est négatif ?
Est-ce qu'il y a une clarification par un dessin géométrique pour savoir mon problème d'une façon intuitive ?

GaBuZoMeu · April 2018

Pourquoi n'essaies-tu pas toi-même de faire un dessin en dimension 2 ? (Regarde ce que la condition veut dire en termes de l'hyperplan passant par $a$ orthogonal à $z$).

abdolahbd · April 2018

GaBuZoMeu
J'ai deja essayé avec R2 avant de poser la question et je trouve que le produit scalaire peut etre negative ou positive.
est ce que tu peut m'expliquer avec R2 (OU un espace de dimension 2)?

GaBuZoMeu · April 2018

Dessine un carré (plein) dans le plan. Soit $A$ ce carré plein. Dessine ensuite, en appliquant la définition, le cône normal à $A$ en $a$ :
1°) si $a$ est à l'intérieur du $A$,
2°) si $a$ est sur un côté de $A$, mais pas un sommet,
3°) si $a$ est un sommet de $A$.
Reviens ensuite sur le forum en postant ton dessin.

abdolahbd · April 2018

https://ibb.co/e31m9H
je crois que la moitié supérieure est l orthogonale de A car qlq soit z un point dans cette partie <z,x-a> <=0 75558

abdolahbd · April 2018

franchement je trouve un problème avec cette définition (orthogonale)

GaBuZoMeu · April 2018

Tu n'as pas fait ce que j'ai demandé. Relis attentivement la définition de cône normal à $A$ en $a$, relis attentivement la consigne que je t'ai donnée et reviens quand tu l'auras exécutée.

Math Coss · April 2018

Si je peux me permettre de m'immiscer, abdolahbd, tu te trompes sur les rôles de $z$ et $x$.
Sur le dessin ci-dessous, sais-tu représenter les $z$ tels que $\langle z,x-a\rangle\le0$ ?
Quand on fait varier $x$, quel est l'ensemble autorisé pour $z$ ? 75562

abdolahbd · April 2018

Premiere cas : 75576

abdolahbd · April 2018

deuxième cas : 75578

abdolahbd · April 2018

troisième cas : 75580

GaBuZoMeu · April 2018

Non. Bon, je le fais à ta place. Essaie de comprendre.
Le carré plein $A$ est en vert. Les points $a$ en bleu. Les cônes normaux sont en rouge, avec leur origine au point $a$ correspondant. Le cône normal en un point intérieur est réduit à ce point. 75582