Algèbres de Clifford

Les algèbres de Clifford Cl(3,1) et Cl(1,3) permettent chacune de reformuler la théorie de Dirac sans nombre imaginaire et sans matrice. C'est équivalent à la formulation initiale avec des matrices complexes, mais nettement plus simple et plus compréhensible. Voir les travaux de David Hestenes (GA pour Geometric Algebra, en français Algèbre Géométrique, et sa déclinaison dans l'espace-temps de Minkowski : STA pour Space-Time Algebra, en français Algèbre de l'Espace-Temps).
Il est aussi possible de formuler l'équation de Dirac dans l'algèbre Cl(3,0) mais c'est plus compliqué, moins naturel, et l'interprétation géométrique du spineur est perdue. Par contre cette dernière algèbre (APS pour Algebra of Physical Space, en français Algèbre de l'Espace) est parfaite pour la théorie non relativiste de Pauli et pour celle de Schrödinger, qui gagnent beaucoup en intelligibilité grace à la représentation géométrique dans l'espace euclidien.
Dans ce cadre l'opérateur différentiel de Dirac est simplement la dérivée géométrique dans l'algèbre de l'espace-temps. La dérivée géométrique est au coeur du Geometric Calculus développé par Hestenes. Cet opérateur n'a finalement rien de quantique, il généralise les opérateurs différentiels usuels (gradient, divergence, rotationnel) à toutes dimensions et tous grades, et s'applique avec bonheur en physique classique comme en physique quantique.

La très grande majorité des publications sur l'Algèbre Géométrique sont en anglais, mais deux bons livres en français ont été publiés:

"L'algèbre vectorielle" de Gaston Casanova, qui s'adresse plutôt à des mathématiciens et met notamment en avant les isomorphismes entre l'algèbre géométrique et l'algèbre des matrices. Ce livre fournit une construction algébrique rigoureuse ; les représentations géométriques sont assez peu mises en valeur.
"G.A. Maths Physique pour demain" de Georges Pagis, qui offre une présentation mathématique accessible sans connaissances préalables en calcul matriciel, avec moins de démonstrations mais plus de figures, et expose ensuite les principales applications en physique.

Cordialement

Je ne sais pas de quels générateurs et relations tu parles, tu confonds probablement avec autre chose.

Avec GA les matrices et les imaginaires abstraits sont bel et bien remplacés par des objets construits à partir de vecteurs, c'est un fait mathématique incontesté. On peut ne pas aimer et préférer continuer à travailler avec d'autres outils mathématiques, mais dans ce cas on ne dit pas de bêtises sur ce qu'on ne connait pas.