Théorie de Galois / d° d'extension non simple

Bonjour à toute et à tous
Voici mon problème

Soit $\gamma = \big(2+ \sqrt 2\big)^{0.5},$ on demande de trouver son polynôme minimal sur $\mathbb Q$, et de montrer que le corps de décomposition de celui-ci est inclus dans $\mathbb R$ (des fous je vous dis).

Je trouve que le polynôme minimal de $\gamma$ sur $\mathbb Q$ est le suivant: $P(X)=X^4-4X^2+2$ (sauf erreur de ma part).
En faisant un changement de variable en $z=X^2$ on a l'ensemble des zéros de $P$, $Z(P)=\{\pm 2^{1/4} e^{\pm i \frac{\pi}{8}} \} $
Donc on me demande de trouver le corps de décomposition de $P$ (noté $CDD(P)$)
Alors $CDD(P)=\mathbb Q(\pm 2^{1/4} ;e^{\pm i \frac{\pi}{8}} ) $ (qui n'est déjà pas dans $\mathbb R$, ça pue déjà mais bon on continue.. soyons fous).

Alors là mon intuition me dit de prendre le polynôme minimal de chaque élément engendrant $CDD(P)$ et de les multiplier entre eux, le degré de ce polynôme sera le degré de l'extension, est-ce que cela est vrai, si oui juste une explication me suffira ?
Après réflexion, je pense que non car il suffit que les polynômes minimaux aient un facteur en commun et tout tombe à l'eau si je puis dire.. alors il n'y aurait pas un théorème caché dans je ne sais quel bouquin qui dit que c'est le ppcm de ces polynômes minimaux ? Ce qui serait (pardonnez-moi l'expression) mais le feu !
Comme ça on utilise le théorème de Galois (ici on peut, $car(\mathbb Q)=0$ donc corps parfait donc toute extension est séparable, normal car $CDD(P)$ donc $CDD(P)$ est Galoisienne blablabla.. ) et c'est fini.

Avez-vous une bonne méthode pour trouver ces degrés d'extension quand plusieurs éléments engendrent une extension ? Parce que cela devient vite lassant, voir foireux dès que le pgcd de l'ordre des éléments n'est pas égal à 1, je suis terriblement tenté de dire que celui-ci est égal à $\mathrm{ppcm}\big(o(a),o(b)\big)$ (avec $a,b$ mes deux éléments algébriques générateurs de mon extension) puisque cela correspondrait exactement à la théorie des groupes !
Merci d'avance pour m'éclairer de votre génie.