Formule des classes : Application numérique
Bonjour
Je suis confronté à cet exercice
b) Un groupe de $143$ éléments opère sur un ensemble à $108$ éléments. Montrer qu'il existe un point fixe.
a.) Est-il possible de raisonner comme suit.
Puisque les orbites sous $G$ forment une partition de $X$ où $G$ opère sur $X$, on a $$
Card(X)=Card(G.x)=Card\big(Orb_G(x)\big)\quad ?$$ Et donc Le nombre d'orbites demandé dans l'exercice serait $19$.
b.) Comment montrer l'existence d'un point fixe ?
Je sollicite votre aide. Merci !
Je suis confronté à cet exercice
b) Un groupe de $143$ éléments opère sur un ensemble à $108$ éléments. Montrer qu'il existe un point fixe.
a.) Est-il possible de raisonner comme suit.
Puisque les orbites sous $G$ forment une partition de $X$ où $G$ opère sur $X$, on a $$
Card(X)=Card(G.x)=Card\big(Orb_G(x)\big)\quad ?$$ Et donc Le nombre d'orbites demandé dans l'exercice serait $19$.
b.) Comment montrer l'existence d'un point fixe ?
Je sollicite votre aide. Merci !
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Réponses
\[X=\bigcup_{i=1}^r\mathcal{O}_i=\bigcup_{i=1}^r\mathrm{Orb}_G(x_i).\]Peux-tu écrire l'égalité des cardinaux qui en résulte ?
Ensuite, tu rates un ingrédient essentiel : pour $x\in X$ fixé, l'application orbitale $G\to X$, $g\mapsto g\cdot x$ induit une bijection $G/G_x\to\mathrm{Orb}_G(x)$. Peux-tu écrire l'égalité des cardinaux qui en résulte ?
On en déduit (comment ?) que le cardinal d'une orbite est nécessairement un diviseur du cardinal de $G$. Ceci établi, la question devient donc d'écrire le cardinal de $X$ comme somme de diviseurs du cardinal de $G$. Par exemple, dans la première question, il faut se débrouiller sans utiliser le diviseur $1$ (il doit y avoir une seule façon de le faire).
L'égalité des cardinaux serait donc : $$Card(X)=\sum_{i=1}^{r}Card\big(\mathrm{Orb}_G(x_i)\big).
$$ Ensuite, je sais que $G/G_x$ et $Orb_G(x)$ sont isomorphe. L'égalité des cardinaux serait $$Card\big(Orb_G(x)\big)=\frac{Card(G)}{Card(G_x)}
$$ Donc $$Card(X)=\sum_{i=1}^{r}\frac{Card(G)}{CardG_x)}
$$ Comment utiliser les nombres donnés dans l'exercice ?
Merci.
@Math Coss
Puisque le cardinal d'une orbite est nécessairement un diviseur du cardinal de G, or les diviseurs du cardinal de G dans cet exercice
sont 1, 5, 7 35. Doit-on juste choisir au hasard un de ces diviseurs pour la réponse à la question a) ?
Comme tu le dis, les diviseurs de 35 sont 1,5,7 et 35.
Sans hypothèses supplémentaires, si on appelle a,b,c,d le nombre d'orbites de cardinal 1,5,7,35, alors on aurait a + 5b + 7c + 35d = 19.
Bien sur, cela est sans hypothèses supplémentaires ! Qu'as tu à disposition pour obtenir a,b,c et d ?
"La question devient donc d'écrire le cardinal de $X$ (le cardinal de $X$, c'est $19$ pour la première question) comme somme de diviseurs du cardinal de $G$ (le cardinal de $G$, c'est $35$ et ses diviseurs sont $1,5,7,35$). Par exemple, dans la première question, il faut se débrouiller sans utiliser le diviseur $1$ (il doit y avoir une seule façon de le faire)."
Je te pose alors la question suivante : Que peut-on dire d'un élément formant à lui tout seul une orbite de G ?
Ma réponse serait : point fixe
Bref : $x$ est un point fixe SSI $\card\mathcal{O}_G(x)=1$.
Donc : pas de point fixe SSI le diviseur $1$ n'est pas utilisé ($a=0$ dans les notations d'Olmy_H.
À présent, comment écrire $19$ comme somme de $5$, $7$ et $35$ ?
Reformulons la question. Imaginons que ce soir, La Rochelle plante 19 points à Toulouse sans marquer ni pénalité ni drop. Combien d'essais aura-t-elle marqué ? combien d'essais transformés ?