Ordre dans un anneau

Contrairement à ce que tu écris, cela n'arrive pas toujours dans $\Z$. C'est parce que tu penses à $\N$ et pas à $\Z$. Constate cependant que $2$ divise $-24$.

Il faut déjà supposer que la relation d'ordre soit compatible avec la structure d'anneau, sinon il est relativement évident que la réponse est non. Donc on peut par exemple supposer les axiomes usuels : $1>0$, $a\leq b, c\leq d \implies a+c\leq b+d$, $a\leq b, c\geq 0 \implies ac\leq bc$

Ensuite comme le fait remarquer Math Coss, cela ne suffit pas, il faut regarder "$\N\setminus\{0\}$" plutôt que "$\Z$" (Math Coss n'a pas fait remarquer que ça ne marche pas avec $b=0$)

Pour un anneau $A$ muni d'un ordre tel qu'avant, cela revient à regarder $\{x\in A, x>0 0\}$.

Mais même là, ça ne suffit pas: regarde dans $\Q$ par exemple, $3456$ divise $1$ mais pourtant $1 < 3456$.

En fait ce qui fait marcher la chose dans $\Z$ c'est que dans cet anneau spécifiquement $x>0$ implique $x\geq 1$, donc si $x>0$ et $ax= b$ alors $b= ax \geq a\times 1 = a$: donc ça marchera dès lors que tu as un anneau muni d'un ordre qui est compatible et que $x>0 \implies x\geq 1$. Par exemple $\Z^I$ pour un ensemble $I$ muni de l'ordre produit (pas lexicographique) fournira un exemple, mais tout tel anneau intègre où $]0,1[$ est non vide fournira un contrexemple ($]0,1[\neq \emptyset$, soit $x\in ]0,1[$ alors $x$ divise $x^2$ mais $x^2 < x$ - j'ai mis l'hypothèse d'intégrité pour avoir une inégalité stricte ici et aussi $0< x^2$; mais on doit pouvoir trouver des contrexemples non intègres)