Une petite question

Blueberry19
Blueberry19
dans Algèbre
Bonsoir à tous,
J'avais une question concernant la question 5)a) du document en pièce-jointe afin de pourvoir répondre à la question si jamais elle retombe.
D'après mon cours je sais que pour toute matrice Mn,p(R), on a rang de A = rang de la transposée de A.
Mais ici on soustrait à cette matrice une autre matrice. Comment alors justifier que les matrices ont le même rang..? La réponse est peut-être toute bête mais je n'arrive pas à voir, comment aurait-il fallu justifier correctement l'affirmation de la question 5)a).
Au concours j'ai réutilisé la propriété du cours, et ajouté que soustraire la même matrice (qui [est] lamda identité) des deux côtés ne change pas l'égalité des rangs. Mais j'ai l'impression d'arnaquer le correcteur, et je ne veux pas répéter la même bêtise dans les prochains sujets..Donc j'aimerais bien savoir comment il aurait fallu justifier correctement l'affirmation de la question 5)a). Pourriez-vous me dire s'il vous plaît ?
Je vous remercie d'avance,
Bonne soirée à tous !75604

Réponses

  • Dom
    Dom
    Bonjour,

    Ici, la matrice que tu soustrais est (au facteur réel près) l'Identité, qui vaut sa transposée.

    Pour une matrice quelconque, suis-je capable de répondre ....?
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Si $A=B=\pmatrix{0&1\\0&0}$, le rang de $A-B$ n'est certainement pas égal à celui de $A^{\mathsf T}-B$ !
  • Blueberry19
    Blueberry19
    Bonjour Dom et GaBuZoMeu,

    Merci pour vos réponse :) !
    Mais juste je n'ai pas compris, dans l'énoncé il me semble que A n'est pas égal à lamda identité...Donc pourquoi vous avez dit si A=B s'il vous plaît ?
  • Dom
    Dom
    Bon, une douche permet de répondre : si on prend la même matrice à soustraire, alors on obtient la matrice nulle (rang 0) pour la première différence tandis que pour l'autre, faudrait avoir beaucoup de guigne pour qu'elle soit nulle, donc la deuxième différence sera au moins de rang 1 (dans les "bons" cas).

    Edit : oups, avec un train de retard...(y'a grève alors j'y peux rien (:D).

    Soit $A$ une matrice et $\ell$ un réel.
    Rang ($A-\ell I$) = Rang ($^t(A - \ell I$)) = Rang ($^tA - ^t(\ell I$)) = Rang ($^tA - \ell I$)

    Edit (bis) : amusant ces trains qui se croisent @GaBuZoMeu. X:-(
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Parce que j'ai bien le droit de le dire, non ? Ce que j'ai écrit n'est pas vrai ? Ça ne montre pas que si on soustrait la même matrice à $A$ et à $A^{\mathsf T}$, il ne faut pas s'attendre à toujours trouver le même rang ? :-D

    Pour le 5a, Dom t'a déjà répondu :
    $$\mathrm{rang}(A-\lambda I_n)=\mathrm{rang}((A-\lambda I_n)^{\mathsf{T}})=\mathrm{rang}(A^{\mathsf{T}}-\lambda I_n^{\mathsf{T}})=\mathrm{rang}(A^{\mathsf{T}}-\lambda I_n)\;.$$
  • Blueberry19
    Blueberry19
    Ah d'accord je comprends mieux , merci :-)
    Oui je viens de voir , merci Dom !
    Bonne soirée à vous !
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 28

CidrolinFoysJLTLudwigMatricule_63SethMorleyJuniorbiguine_equationcaillouxchanigraoul.S +18 Invités