Formes quadratiques
Bonjour les mathématiciens.
Je me suis confronté ce jour-ci à une forme quadratique de la forme q(x,y)=ax²+bxy+cy² définie positive et entière càd ses coeffs sont entiers et ses valeurs sont strictement positives sauf si x=y=0, on prouve au passage que a>0 et 4ac-b²>0, elle vérifie aussi : |b|<a<c (les < au sens large) et si a=c ou a=|b| alors b>0 (aussi au sens large).
Ma question est la suivante : comment peut-on trouver son point le plus bas (son minimum) non pas dans R² mais dans (Z²)\(0,0) ?
Je voudrais svp une méthode claire et efficace sans le moindre brouillard.
Merci.
Je me suis confronté ce jour-ci à une forme quadratique de la forme q(x,y)=ax²+bxy+cy² définie positive et entière càd ses coeffs sont entiers et ses valeurs sont strictement positives sauf si x=y=0, on prouve au passage que a>0 et 4ac-b²>0, elle vérifie aussi : |b|<a<c (les < au sens large) et si a=c ou a=|b| alors b>0 (aussi au sens large).
Ma question est la suivante : comment peut-on trouver son point le plus bas (son minimum) non pas dans R² mais dans (Z²)\(0,0) ?
Je voudrais svp une méthode claire et efficace sans le moindre brouillard.
Merci.
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Réponses
Tu parles "d'une forme quadratique de la forme...".
Je ne sais pas s'il existe une méthode générale.
Souhaites-tu connaître une méthode pour résoudre ton problème quelles que soient les valeurs de $a$, $b$ et $c$ ou bien une méthode dans ton cas particulier ?
Cordialement.
Comme $a$ et $c$ sont supérieur à $0$. On a : $$
q(x,y) \geq ax^2-| bxy| +cy^2
$$ Ensuite, l'idée est d'utiliser l'inégalité $2| xy | \leq x^2+y^2$. On a alors : $$
ax^2-|bxy| +cy^2 \geq ax^2 -\frac{1}{2}|b| (x^2+y^2) +cy^2 = \Big( a -\frac{| b|}{2} \Big)x^2 + \Big( c -\frac{|b|}{2} \Big) y^2 \geq (a-| b | + c) \min(x^2,y^2)
$$ Or $a -| b | \geq 0$ donc si $x\ne 0$ et $y \ne 0$. On a : $q(x,y) \geq c \times \min(x^2,y^2) \geq c$.
Maintenant, si $x \ne 0$ alors $q(x,0) \geq a$ et si $y \ne 0$ alors $q(0,y) \geq c$. On en déduit comme $a \leq c$, que la valeur minimal est $a = q(1,0)$.
merci a vous aussi Dom pour votre question :je cherche la solution uniquement pour ce cas là,ça serait un peu compliqué de chercher la solution dans le cas général ,mais je suis curieux de savoir si c'est possible Désolé pour le retard (je suis nouveau au site)
Amuse toi bien avec les formes binaires !