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Fonction négligeable

lucy1234lucy1234
dans Analyse
Bonjour à tous
J'ai fait une question de cours mais je ne suis vraiment pas sûre que mon raisonnement soit juste. Pouvez-vous m'éclairer svp ?

Voici ce que dit le cours.
$\mu(n)$ fonction négligeable $\Leftrightarrow \forall c>0, \ \exists n_{0} \in N,\ \text{tel que}\ \forall n>n_{0},\ \mu(n) < 1/(n^{c})$

Voici la question.
$\mu(n)=n^{-\log(n)}$ est elle négligeable ?

Ma réponse.
$\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} n^{-\log(n)}/(n^{-c}) =1 \Rightarrow \exists c>0, \ \exists n_{0} \in N$ tel que $\forall n>n_{0},\ \mu(n) \ge n^{-c} $ (j'ai essayé d'écrire le contraire de la proposition au dessus) $\Rightarrow \mu(n)$ non négligeable.

Merci !

Réponses

  • MaxtimaxMaxtimax
    Que se passe-t-il si tu fixes un $c$ et prends un $n_0$ tel que $\log(n_0) >> c$ ?
  • Math CossMath Coss
    Dans la phrase\[\lim_{x \rightarrow +\infty} n^{-\log(n)}/(n^{-c}) =1 \Rightarrow \exists c>0, \dots\]quel est le rôle de $c$ ? À gauche de l'implication, il semble avoir été fixé avant puisque rien ne permet de décider qui il est ; à droite de l'implication, il est rendu muet par « $\exists c$ ». Ce n'est pas compréhensible.

    (Il y a aussi une faute de frappe, consistant à prendre une limite d'une suite qui dépend de $n$ lorsque $x$ tend vers l'infini.)
  • lucy1234lucy1234
    Bonjour,
    merci beaucoup pour vos réponses. J'ai rectifié la faute de frappe.

    $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} n^{-\log(n)}/(n^{-c}) =1 $ est probablement faux..
    $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} n^{-\log(n)}/(n^{-c}) = \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} n^{c-\log(n)} $
    Avec $c$ fixé, si $n$ tend vers $+\infty $, $c-\log(n)$ tend vers $-\infty$.
    mais après ça fait une forme indéterminée..
    Donc tout est faux :)

    Pour l'implication, merci pour le conseil. Je vais repartir de zéro !
  • gebranegebrane
    $\forall c>0,\quad \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} n^{c-\log(n)}= \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} e^{?}=0$ ce qui permet de conclure
    Le 😄 Farceur


  • lucy1234lucy1234
    Bonjour,

    Merci pour votre aide.
    Pourriez-vous expliquer comment ca devient de l'exponentielle ? J'arrive pas a faire le lien...

    Merci !
  • gebranegebrane
    De mon téléphone $\quad u^v=e^{v\ln u}$, pour $u>0$.
    Le 😄 Farceur


  • lucy1234lucy1234
    Du coup ce serait:

    $\forall c>0,\quad \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} n^{c-\log(n)}= \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} e^{(c-\ln(n))\ln(n)}=\ ?$
    car $ \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \big(c-\ln(n)\big)\ln(n) $ est une forme indéterminée non ?
  • gebranegebrane
    Non
    Le 😄 Farceur


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