Matrice inversible à coefficients dans Z

AlphaNico
AlphaNico
dans Algèbre
Bonjour à tous,

On peut démontrer facilement le résultat suivant :

Si une matrice $2 \times 2$ à coefficients dans $\mathbb{Z}$ a un déterminant impair, alors, en changeant le signe d'un ou plusieurs de ses coefficients, la matrice obtenue est inversible.

Je n'arrive pas à savoir si ce résultat est encore valable pour des matrices $3 \times 3$ (et plus généralement pour des matrices de taille plus grande).

Quelqu'un aurait-il une idée ?

Bonne journée à tous,

$\alpha$-Nico

Réponses

  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Inversible où ?

    Inversible sur $\mathbb Q$ ? Mais alors une matrice de déterminant impair est déjà inversible sur $\mathbb Q$ puisque $0$ n'est pas impair. Alors que veux-tu dire ?

    Inversible sur $\mathbb Z$ ? Essaie avec $\pmatrix{100&1\\1&1}$.

    Peut-être ton assertion est-elle : si une matrice carrée à coefficients entiers a un déterminant impair, alors toute matrice obtenue en changeant de signe un ou plusieurs de ses coefficients a aussi un déterminant impair. Démonstration : immédiat par réduction modulo $2$.
  • AlphaNico
    AlphaNico
    Je voulais dire inversible dans $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$.

    Je précise par ailleurs que c'est uniquement l'inversibilité qui m'intéresse, et pas l'éventuelle parité
    du déterminant de la matrice obtenue en modifiant les signes...
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Mmm .. Tu n'as pas compris qu'une matrice de déterminant entier impair est forcément inversible dans $M_n(\mathbb R)$ ?
  • AlphaNico
    AlphaNico
    Gabuzomeu :

    Toi, ce que tu n'as pas compris, c'est ma question initiale !

    Que se passe-t-il si je change les signes de ma matrice $3 \times 3$. Obtient-on encore une matrice inversible ?

    Je précise que je ne suis pas censé utilisé la formule $\mathrm{det}(M)=\sum_{\sigma \in S_{n}} (-1)^{n}...$ qui n'est
    pas au programme...
  • oblomov
    oblomov
    Bonjour,

    Je crois que GBZM a très bien compris ta question initiale, mais que toi tu ne comprends pas sa réponse.

    Ce que GBZM te dit c'est qu'en changeant le signe de certains coefficients, tu ne changes pas la parité du déterminant (et ce, quelle que soit la taille de ta matrice). Donc s'il était impair au départ, il reste impair et donc la matrice reste inversible.

    Tu dois donc te concentrer à montrer que la parité du déterminant ne change pas.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Tu n'as peut-être pas compris l'argument expéditif "immédiat par réduction modulo $2$". Ce n'est pas au programme ?
    Est-ce que le développement du déterminant suivant une ligne ou une colonne est au programme ? Alors l'invariance de la parité (qui est j'insiste, le point fondamental ici, l'inversibilité n'est qu'une conséquence immédiate) résulte sans peine en considérant le développement suivant la ligne (ou la colonne) qui contient le coefficient dont on change le signe.
    Et si la parité est invariante quand on change le signe d'un coefficient, elle est toujours invariante quand on change le signe de plusieurs coefficients.
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