Rang d'un système de vecteurs

Zakariyae · April 2018

Bonsoir à tous,
Soit $E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel. Soit $F=\{v_1,\ldots, v_p\}$ une famille de $p $ vecteurs de $E$. Par définition, le rang de $F$ est la dimension de $Vect(\{v_1,\ldots, v_p\})$.
Ce que je n'ai pas compris c'est que $rg(F)\leq \dim E$ ou $rg(F)\leq p$ où $p$ est le cardinal de $F$ ?
Merci d'avance.

Maxtimax · April 2018

Les deux :-D

$rg(F)\leq \mathrm{dim}E$ car $Vect(x_1...x_p) \subset E$, et $rg(F) \leq p$ à cause des propriétés de base de la dimension

Zakariyae · April 2018

Donc on a toujours $rg(F)\leq \max(\dim E , p)$ ?

Zakariyae · April 2018

Par exemple, soit le système $S=\{v_1, v_2, v_3, v_4\}$ de $\mathbb R^3$, avec $v_1=(1, 0, 1), v_2=(0, 2, 2), v_3=(1,1,1)$ et $v_4=(2, 3, 4)$.
Si $Card(S)=3$ donc je sais que $0\leq rg(S)\leq 3$, mais ce n'est pas le cas. Ici $Card(S)=4$, donc ce que je peux dire (pour moi) $0\leq rg(S)$, et comme dans ce système $v_1 \neq 0_{\mathbb R^3}$ donc $1\leq rg(S)$. Mais ma question maintenant avant d'attaquer les calculs pour déterminer le $rg(S)$, est ce que $1\leq rg(S) \leq 3=\dim \mathbb R^3$ ou $1\leq rg(S) \leq 4=Card(S)$ ?

GaBuZoMeu · May 2018

M'enfin ?? Maxtimax te l'a déjà expliqué : si $v_1,\ldots,v_p$ sont des éléments de $E$, alors
$$\dim(\mathop{\mathrm{Vect}}(\{v_1,\ldots, v_p\}))\leq \min(p, \dim E)\;.$$
En effet, on peut extraire de $(v_1,\ldots,v_p)$ une base de $\mathop{\mathrm{Vect}}(\{v_1,\ldots, v_p\})$, et toute base de $\mathop{\mathrm{Vect}}(\{v_1,\ldots, v_p\})$ se complète en une base de $E$.

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