Courbe algébrique

Ça marche, mais on ne voit pas trop d'où ça sort. Essayons avec un exemple plus compliqué : on cherche $\dfrac{1}{x^2y+3}$. Pour cela, il faut écrire $1$ comme un multiple (par un polynôme) de $P=x^2y+3$.
On commence par chercher une relation de Bezout (dans $\C(y)[x]$) entre $P$ et $F$. On trouve $sP + tF = y^5+27$ avec $s=xy^3 - 3 x^2y + 9$ et $t=y^2(y^2-3x)$. Donc, dans l'anneau quotient $R = \mathcal{O_0}/ \langle F,G\rangle$, $y^5+27$ est un multiple de $P$.
De même, avec $P$ et $G$ au lieu de $P$ et $F$ : $aP+bG = y^5-9$ avec $a=x^2y-3$ et $b=y^2$. Donc, dans $R$, $y^5-9$ est un multiple de $P$.
Il n'y a plus qu'à trouver une relation de Bezout entre $y^5+27$ et $y^5-9$ (dans $\C[y]$) : $u(y^5+27) +v(y^5-9) = 1$ avec $u= \dfrac{1}{36}$ et $v = \dfrac{-1}{36}$. Donc, dans $R$, $1$ est bien un multiple de $P$ (car $y^5+27$ et $y^5-9$ le sont). On peut préciser : dans $R$, on a $\dfrac{1}{x^2y+3} = us+va = \dfrac{1}{36}xy^3-\dfrac{1}{9}x^2y+\dfrac{1}{3}$.