Équation trigonométrique

oliver1383 · May 2018

Bonjour j'ai une équation à résoudre \[\sin x + \sqrt { 3 } \cos x = \sqrt { 2 }.\] Je ne sais pas comment commencer à la résoudre. J'ai remarqué que $\quad \sqrt { 3 } =\tan \frac { \pi }{ 3 }.$
Je dois arriver à un premier membre de la forme $\quad\sin a \cos b + \sin b \cos a$.

Je n'y arrive plus du tout, si vous pouviez m'aider merci.

rakam · May 2018

Bonsoir !
$\tan$ c'est le quotient d'un sinus par un cosinus : une réduction au même dénominateur suffit...

ev · May 2018

Divise tout par deux, ça changera ta vie. Tu verras des sinus et des cosinus partout.

e.v.

oliver1383 · May 2018

Ok c'est à dire ?

GaBuZoMeu · May 2018

Allez, je t'aide à diviser par $2$ :
$$\frac12\,\sin(x) +\frac{\sqrt3}2\, \cos(x) =\frac{\sqrt2}2\;.$$

oliver1383 · May 2018

Bon je suis vraiment désolé mais ça fait longtemps que je n’ai pas fait des équations comme cela, car je suis en train de faire une formation dessinateur en bâtiment.

Vous pouvez me donner les formules à appliquer et après je veux j’ essayer de les résoudre seul. Merci.

fm_31 · May 2018

Bonjour ,

la piste suggérée par rakam me parait assez directe

Corrdialement 75780

oliver1383 · May 2018

Ok d'accord donc ont utilise quand même tan pi/3, après cela je dois utiliser des formules d'addition sin(a+b)=sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a) et ensuite ?

ev · May 2018

Tu peux écrire $ \dfrac{\sqrt2}2 = \sin\left( \dfrac\pi4 \right) $.

e.v.

oliver1383 · May 2018

Ok d'accord
Je remplace $\sin(x)$ et $\cos(x)$ par $\sin \pi/4$ ? $$
\sin \frac { \pi }{ 4 } \cos \frac { \pi }{ 3 } +\sin \frac { \pi }{ 3 } \cos \frac { \pi }{ 4 }$$

ev · May 2018

Nan !

1) Où est passé le signe "égale" ?
2) Dans l'égalité écrite par GaBuZoMeu- que je salue - tu remplaces $ \dfrac{\sqrt2}2 $ chaque fois que tu le vois par $ \sin\left( \dfrac\pi4 \right) $.

e.v.

fm_31 · May 2018

oliver1383 a écrit:

après cela je dois utiliser des formules d'addition

Oui et tu obtiens sin (x + pi/3) = sin (pi/2) donc ....

oliver1383 · May 2018

Donc
\begin{align*}
\sin(x+\tfrac { \pi }{ 3 } )&=\sin(\tfrac { \pi }{ 2 } )\\
\sin(\tfrac { \pi }{ 2 } )&=1\\
\sin(x+\tfrac { \pi }{ 3 } )&=1\\
x+\tfrac { \pi }{ 3 } &=\tfrac { \pi }{ 2 } +2\kappa \pi \\
x&=2\kappa \pi +\tfrac { \pi }{ 6 }
\end{align*}

gerard0 · May 2018

Heu ... il y a une faute de frappe de Fm_31, c'est $\sin(\frac{\pi}4)$.
Et ensuite, si $\sin(a)=\sin(b)$, on en déduit deux séries de possibilités (voir le cercle trigo) :
$a=b+k.2\pi$
$a=\pi - b+k.2\pi$
avec dans les deux cas $k$ entier quelconque.

Cordialement.

oliver1383 · May 2018

comme sa ? 75810

gerard0 · May 2018

Aucun rapport avec l'énoncé.

Relis mon message précédent.

Math Coss · May 2018

Si, il y a un rapport : partant de l'équation transformée erronée $\sin\bigl(x+\frac\pi3)=\sin\frac\pi2$, oliver1383 a remplacé $\pi/3$ par $\pi/4$ au lieu de $\pi/2$ par $\pi/4$.

L'équation initiale était $:\$ [\sin x + \sqrt { 3 } \cos x = \sqrt { 2 }.\] En divisant par $2$ et en reconnaissant que $\frac12=\cos\frac\pi3$ et $\frac{\sqrt{3}}2=\cos\frac\pi3$, puis en appliquant la formule d'addition du sinus, on voit que cette équation est équivalente à\[\sin\Bigl(x+\frac\pi3\Bigr)=\frac{\sqrt{2}}2=\sin\frac\pi4.\]À quelle condition deux réels $a$ et $b$ ont-ils le même sinus ?

oliver1383 · May 2018

J'ai un peu du mal à vous suivre... donc si \[\frac { \sqrt { 2 } }{ 2 } =\sin\frac { \pi }{ 4 }\] C'est le $\sin$ même ? \[
\sin(a)=\sin(b)\\ alors\quad a=b+2k\pi \\ ou\quad a=\pi -b+2k\pi
\] \[\sin(x+\frac { \pi }{ 3 } )=\sin(\frac { \pi }{ 4 } )\]

fm_31 · May 2018

Désolé pour l'erreur de transcription .
Bien que presque tout ait été dit , il semble que oliver a du mal à conclure . En dire plus serait faire tout l'exercice à sa place .

gerard0 · May 2018

Math Coss, tu risques d'induire Oliver1383 en erreur. Dire que 3,41 a un rapport avec $\pi$ est quand même généraliser la notion de rapport.

Cordialement.

NB : J'avais évidemment vu la confusion, mais je ne voulais pas faire le travail de lecture de ce que j'ai écrit à la place d'Oliver1383.

oliver1383 · May 2018

Oui j'ai du mal à conclure mais est-ce que ma dernière équation et bonne ? Que je puisse continuer.

Math Coss · May 2018

Oui, c'est la bonne équation. Tu peux appliquer ce que tu as écrit : dire que $\sin(a)=\sin(b)$, c'est dire que $a=b+2k\pi$ ou que $a=\pi-b+2k\pi$ pour $k$ entier convenable.