Une histoire de tangentes
On sait bien que si $a$. $b$, $c$ sont les angles d'un triangle non rectangle,
$$
\tan(a)\tan(b)\tan(c) = \tan(a) + \tan(b) + \tan(c)
$$
Est-ce-que réciproquement l'on peut toujours interpréter les solutions d'une équation
$$
z^3-pz^2+qz-p=0
$$
comme les tangentes des angles d'un triangle non rectangle ?
$$
\tan(a)\tan(b)\tan(c) = \tan(a) + \tan(b) + \tan(c)
$$
Est-ce-que réciproquement l'on peut toujours interpréter les solutions d'une équation
$$
z^3-pz^2+qz-p=0
$$
comme les tangentes des angles d'un triangle non rectangle ?
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Que penser du cas \(p=0\), \(q= -1\) ?
La question suivante est peut-être plus intéressante :
A quelles conditions sur $p$ et $q$ les trois solutions peuvent-elles s'interpréter
comme les tangentes de trois angles d'un triangle ?
$$ax^3+bx^2+cx+b\;,$$
où $a,b,c$ sont des réels non tous les trois nuls, sont les tangentes des angles d'un triangle (éventuellement dégénéré). Je dirais que c'est si et seulement si les trois racines sont réelles (éventuellement infinies), c.-à-d. si et seulement si
$$-27a^2b^2+18acb^2+b^2c^2-4b^4-4ac^3\geq 0\;.$$
Par triangle dégénéré j'entends un triangle aplati, ou un triangle avec deux points confondus (le côté du triangle joignant ces deux points étant une droite passant par ce point double). Bref, à similitude près, des limites de "vrais triangles" (donnés par leurs trois angles).
Pas besoin de faire intervenir de triangle $AAA$ dans l'histoire.
Mais chacun est libre de sa définition…
Un triangle à similitude près est défini par l'ensemble de ses trois angles (géométriques) de somme $\pi$. Pour les "vrais" triangles, ces angles sont dans $]0,\pi[$. Je trouve raisonnable de compactifier la situation en prenant les angles dans $[0,\pi]$ (et toujours de somme $\pi$, bien sûr), ce qui correspond à des triangles dégénérés tels que je les ai décrits. Par ailleurs, je te signale qu'un point double (le fameux $AA$), du point de vue de la géométrie algébrique, c'est bien un point + une direction de droite, par exemple le point double d'intersection d'un conique avec une tangente.
Ça ne te plaît pas, tant pis ! ;-)