Stabilité points rationnels courbe elliptique
Bonjour à tout-e-s!
Je travaille en ce moment sur les courbes elliptiques, et notamment sur la loi de groupe associée. J'ai bien compris que cette loi était effectivement une loi de groupe sur l'ensemble des points de la courbe, mais je n'arrive pas à démontrer que cette loi stabilise l'ensemble des points rationnels. Pouvez-vous m'aider ?
Je travaille en ce moment sur les courbes elliptiques, et notamment sur la loi de groupe associée. J'ai bien compris que cette loi était effectivement une loi de groupe sur l'ensemble des points de la courbe, mais je n'arrive pas à démontrer que cette loi stabilise l'ensemble des points rationnels. Pouvez-vous m'aider ?
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Réponses
Mais merci quand même!!
Tu as une droite passant par deux points $A$ et $B$ de la cubique à coordonnées dans $K$ ; cette droite a une paramétrisation $M(t)$ à coefficients dans $K$, avec $M(0)=A$ et $M(1)=B$.
Tu rentres les coordonnées de $M(t)$ dans l'équation de la cubique. Ça te fait une équation de degré $3$ en $t$ à coefficients dans $K$, dont on connaît déjà deux racines $0$ et $1$. Où peut bien être la troisième racine ? (Réponse sans calcul).