Représentation sev

Oui. Le sachant, peux-tu le démontrer ?
Suggestion : en prenant $\let\l=\lambda(\l_1,\dots,\l_p)\in\R^p$ et $\Lambda=\begin{pmatrix}\l_1&\l_2&\cdots&\l_p\end{pmatrix}^{\text{T}}$, comment décris-tu $A\Lambda$ en fonction de $A$ et des $\l_k$ ?

C'est ça, à un détail près : il faut remplacer l'article défini « la » dans « la base », qui indique l'unicité de ladite base, par l'article indéfini « une », qui indique que plusieurs choix sont possibles (pour $p\ge1$ du moins).

En effet, $A\Lambda$ est la combinaison linéaire des colonnes de $A$ dont les coefficients sont $\lambda_1,\dots,\lambda_p$.

À présent, tu sais que tout sous-espace vectoriel de dimension $p$ de $\R^n$ peut être décrit (de plusieurs façons, puisqu'il existe plusieurs bases) comme image d'une application linéaire $\R^p\to\R^n$.

Saurais-tu démontrer que tout sous-espace $F$ peut être décrit comme noyau d'une application linéaire $\R^n\to\R^q$ ? Quelle est la plus petite valeur de $q$ possible ?

Très bonne proposition. Pour la minimalité, le théorème du rang semble être la clé.

Reformulation partielle de ta construction. On a cette base $(f_1,\dots,f_p,e_{p+1},\dots,e_n)$. Pour simplifier, posons $e_1=f_1$,..., $e_p=f_p$, de sorte que la base est bravement $(e_1,\dots,e_n)$. L'application $\ell_i$ qui à un vecteur $v=\sum_{i=1}^n\lambda_ie_i$ associe $\lambda_i$ est linéaire.

Aparté : Comme elle atterrit dans $\R$, on parle de forme linéaire. L'espace des formes linéaires $E^*=\mathrm{Hom}(E,\R)$ est appelé le dual de $E$. La famille $(\ell_1,\dots,\ell_n)$ en est une base (exercice facile).

Revenons à $F$ : le noyau de ton application $\phi$ est l'intersection des noyaux de $\ell_{p+1},\dots,\ell_{n}$. Autrement dit, décrire $F$ comme tu l'as fait, c'est donner un système d'équations linéaires de $F$.

Moralement, c'est évident que le nombre minimal d'équations est $n-p$ : chaque fois que l'on ajoute une équation $\ell_k(v)=0$, l'espace des solutions perd $1$ dimension (si l'équation est « nouvelle », i.e. n'est pas combinaison linéaire des précédente, puisque le nouvel espace des solutions est un hyperplan dans l'espace des solutions précédent) ou $0$ (si l'équation ajoutée est combinaison linéaire des précédentes). Pour passer d'un espace de dimension $n$ à un espace de dimension $p$, il faut donc au moins $n-p$ équations.

Le théorème du rang le montre formellement (et plus facilement : d'un coup, d'un seul...). Ça part comme ça : si $\psi:E\to G$ est une application linéaire dont le noyau est $F$, alors...