Équation différentielle 2nd ordre - pôles
Bonjour
Il m'est demandé dans le cadre d'un TD en Automatique de définir l'équation caractéristique associée à l'équation différentielle suivante, calculer ses pôles notés p1, p2, calculer leurs modules et arguments puis les tracer dans le plan complexe.
Enfin donner la solution de l'équation différentielle homogène.
Mon niveau en maths est BAC+. $$
\omega_n^2 y(t) + 2 \xi \omega_n \frac{dy(t)}{dt} + \frac{d^2y(t)}{dt} = \omega_n^2 u(t)
$$ Dans le cas où : $ \xi > 1 $ et $ \omega_n > 0.$
Mon problème est que je ne trouve pas de pôles complexes. Voici mes résultats.
L'équation caractéristique associée à l’équation homogène c'est-à-dire sans second membre s'écrit $$
y^2+2 \xi \omega_n y + \omega_n^2 = 0
$$ le déterminant s'écrit : $4 \omega_n^2 (\xi^2 - 1) > 0$
D'où je peux calculer deux racines réelles : $$
p_1 = \omega_n \big(-\xi- \sqrt{\xi^2 - 1}\big) \quad\text{et}\quad p_2 =\omega_n \big(\sqrt{\xi^2 - 1}-\xi\big).
$$ J'ai beau refaire mes calculs, je ne trouve pas mon erreur. Peut-on m'aider un petit peu par ici ?
Merci par avance pour votre aide.
Il m'est demandé dans le cadre d'un TD en Automatique de définir l'équation caractéristique associée à l'équation différentielle suivante, calculer ses pôles notés p1, p2, calculer leurs modules et arguments puis les tracer dans le plan complexe.
Enfin donner la solution de l'équation différentielle homogène.
Mon niveau en maths est BAC+. $$
\omega_n^2 y(t) + 2 \xi \omega_n \frac{dy(t)}{dt} + \frac{d^2y(t)}{dt} = \omega_n^2 u(t)
$$ Dans le cas où : $ \xi > 1 $ et $ \omega_n > 0.$
Mon problème est que je ne trouve pas de pôles complexes. Voici mes résultats.
L'équation caractéristique associée à l’équation homogène c'est-à-dire sans second membre s'écrit $$
y^2+2 \xi \omega_n y + \omega_n^2 = 0
$$ le déterminant s'écrit : $4 \omega_n^2 (\xi^2 - 1) > 0$
D'où je peux calculer deux racines réelles : $$
p_1 = \omega_n \big(-\xi- \sqrt{\xi^2 - 1}\big) \quad\text{et}\quad p_2 =\omega_n \big(\sqrt{\xi^2 - 1}-\xi\big).
$$ J'ai beau refaire mes calculs, je ne trouve pas mon erreur. Peut-on m'aider un petit peu par ici ?
Merci par avance pour votre aide.
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Réponses
Il n’y a pas d’erreur ( tu n’as pas défini les p mais bon)... un réel est aussi un complexe et tu peux donc calculer son module et le placer dans le plan complexe.
Pour $\xi>1$ les solutions sont des sommes exponentielles amorties... (temporellement).
Dans l’autre cas, on aura des oscillations...