Déterminant d'un endomorphisme — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Déterminant d'un endomorphisme

David OlivierDavid Olivier
dans Algèbre
Bonjour vous,

Je cherche à mieux comprendre la notion de déterminant. En fait, je cherche une définition un peu plus abstraite et propre que la formule avec les $M_{ij}$, et qui permette de comprendre facilement en particulier que $\det (AB) = (\det A) (\det B)$.

Pour ça, je regarde du côté des applications linéaires $E \to E$, avec $E$ de dimension $n =$ la taille des matrices carrées concernées. Comme le déterminant d'un $\phi \in \mathcal L(E)$ ne dépend pas de la base, on doit pouvoir définir $\det \phi$ sans aucune référence à la base. Mais comment ? Je me suis aussi demandé, puisque $\mathcal L(E)$ peut être identifié à $E \otimes E^*$, s'il n'y avait pas une piste de ce côté-là, mais je ne vois pas non plus comment définir le déterminant d'un tel tenseur.

(J'ai mené avec succès cette recherche pour le rang d'une application, et pour sa trace; ça m'embête que pour le déterminant je n'y arrive pas.)

Réponses

  • PonctuelPonctuel
    Soit $u$ un endomorphisme d'un espace vectoriel $E$ de dimension finie et non nulle $n$. Alors il existe un unique scalaire, appelé le déterminant de $u$ et noté $\det(u)$, tel que pour toute forme $n$-linéaire alternée $f$ et tout $(x_1,\dots,x_n) \in E^n$, on ait $$
    f\big(u(x_1),\dots,u(x_n)\big) = \det(u)f(x_1,\dots,x_n).
    $$
  • Math CossMath Coss
    La raison du résultat de Ponctuel est que l'espace des formes $n$-linéaires alternées sur $E$ est de dimension $1$. Il est facile de se convaincre que c'est au plus $1$, un peu plus délicat d'en exhiber une.

    Ce résultat se généralise : la dimension de l'espace des formes $k$-linéaires alternées sur $E$ est $\binom{n}{k}$. Une base est fournie par $e_{i_1}^*\wedge\cdots\wedge e_{i_k}^*$ où $(e_1^*,\dots,e_n^*)$ est une base de $E^*$ et $i_1<\cdots<i_k$ parcourt l'ensemble des $k$-listes strictement croissantes.
  • David OlivierDavid Olivier
    Merci bien à tous deux. Avec ça il effectivement immédiat que $\det(u \circ v) = \det(u) \det(v)$.
  • David OlivierDavid Olivier
    Avec cette définition du déterminant d'un endomorphisme, je voudrais montrer que le déterminant de la transposée d'un endomorphisme est égal au déterminant de l'endomorphisme.

    Pour les déterminants d'une matrice carrée et la formule classique $\det M = \sum_\sigma \epsilon(\sigma) \prod_{i = 1}^n M_{i \sigma(i)}$, on arrive facilement à montrer que $\det {}^t\!M = \det M$. En faisant le lien avec le déterminant d'un endomorphisme, on peut montrer qu'on a aussi $\det {}^tu = \det u$. Mais je voudrais le montrer sans faire le passage par les matrices.
  • oblomovoblomov
    Il me semble que c'est la conséquence des faits suivants:

    1) Si $E$ est un ev de dim $1$, tout endo $u$ de $E$ est une homothétie et l'endo $^{t}u$ de $E^*$ est une homothétie de même rapport.

    2) Si $F$ est de dimension $n$, l'espace des formes $n$ linéaires alternées sur $F$, noté $A(F)$ est de dimension $1$. On a un isomorphisme entre $A(F^*)$ et $A(F)^*$ qui fait correspondre à l'endomorphisme $A(^{t}u)$ l'endomorphisme $^{t}\!A(u)$.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Success message!