Il en faudrait 7, je n'en ai trouvé que 2 .

Pour $P(z) = 0$, il y a 3 racines réelles, on sort la méthode trigonométrique. On trouve que les 3 solutions sont $z=7+\dfrac{8\sqrt{21}}{3}\cos\left(\dfrac{1}{3} \arccos\left( \dfrac{3\sqrt{21}}{14}\right)+ \dfrac{2k\pi}{3}\right)$, $k\in \{0,1,2\}$.

Si $z$ est réel alors $P(z^2)$ est la partie réelle de $\dfrac{(z+i)^7}z$.

On en déduit que les solutions de $P(z^2)=0$ sont les $\tan\left(\dfrac{k\pi}7\right)$ avec $1\leq k\leq 6$.