Courbe affine/ Courbe projective

Bonjour à tout-e-s !
Dans le cadre de mon travail sur les courbes elliptiques, je passe sans arrêt de la représentation affine d'une courbe à sa représentation projective, et vice-versa. Seulement, je ne comprends pas pourquoi on a le droit de faire ça. Car dans mon cours sur la géométrie projective, on m'a appris que "le projectif est comme l'affine, où on rajoute des points à l'infini". Cette "définition" est pratique pour visualiser ce qu'il se passe, mais concrètement je ne comprends pas pourquoi on peut passer de l'un à l'autre de manière bijective.
De manière plus rigoureuse, si on pose $U_i=\lbrace [x_1:\cdots:x_n] \mid x_i \neq 0\rbrace$, on a cette bijection : $$\begin{array}{rccl}
\Phi_i:& K^n&\longrightarrow &U_i\subsetneq P^n \\
&(x_1,\ldots,x_n)&\longmapsto &[x_1:\cdots:x_{i-1},1,x_{i}:\cdots:x_n]
\end{array}$$ On trouve facilement son inverse : $$ \begin{array}{rccl}
\Phi_i^{-1}:&U_i&\longrightarrow &K^n \\
&[x_1:\cdots:x_{i}:\cdots:x_n] &\longmapsto &\big(\frac{x_1}{x_i},\ldots,\frac{x_{i-1}}{x_i},\frac{x_{i+1}}{x_i},\ldots,\frac{x_n}{x_i}\big)
\end{array}
$$ Dans certains livres, ils appellent cette bijection un isomorphisme, sauf que la structure de $K^n$ n'est pas du tout la même que celle de $P^n$..
Enfin voilà je suis un peu perdue, pouvez-vous me donner exactement la correspondance entre les courbes affines et les courbes projectives ? Car par exemple une courbe elliptique est par définition une courbe projective, mais pourtant on regarde sa représentation affine pour y définir une loi de groupe.
Merci d'avance !!