Structure des groupes abéliens finis

Tu as bien raison de ne pas être convaincu.e ! En général, $A\simeq B$ n'implique pas $G/A \simeq G/B$. Prends par exemple $G= \Z/p^2 Z \times \Z/p\Z$, $A = p\Z/p^2Z \times \{0\}$, $B= \{0\} \times \Z/p\Z$. Alors $A, B$ ont cycliques d'ordre $p$, donc isomorphes, mais $G/A \simeq (\Z/p\Z)^2$ n'est pas isomorphe à $G/B \simeq \Z/p^2\Z$. Evidemment, tu ne trouveras pas de contrexemple où $A,B$ sont cycliques d'ordre l'exposant du groupe, sinon le théorème de structure serait faux (enfin si je ne me méprends pas); mais cela montre que l'argument auquel tu penses ne marche effectivement pas.

Il y a des preuves très classiques de l'unicité que tu peux trouver à plein d'endroits en ligne notamment (par exemple ici où c'est fait sous-forme d'exercice)

Sinon tu peux tenter l'exercice plus général suivant : soit $G,H,K$ trois groupes finis tels que $G\times H\simeq G\times K$. Alors $H\simeq K$.

Avec cet exercice tu peux conclure !

Maintenant pour le faire, voici quelques pistes :

1) Montrer que $|H|= |K|$. En déduire qu'il suffit de trouver un plongement $H\to K$.
2) Notons $h(A,B)$ le nombre de morphismes $A\to B$, $i(A,B)$ le nombre de plongements $A\to B$.
Montrons que $h(A, G\times K) = h(A,G)h(A,K)$ pour tout $A$. En déduire que $h(A,K) = h(A,H)$ pour tout $A$.
3) Montrer par récurrence sur le cardinal des groupes que pour tout $A$ fini, $i(A,H) = i(A,K)$ en exploitant le fait que $h(A,H) = \displaystyle\sum_{B\triangleleft A} i(A/B, H)$.
4) Conclure en appliquant 3) à $A=H$ et en appliquant 1).

(Remarque: pourquoi ça ne contredit pas le contrexemple du tout début de mon message ? Simplement parce qu'au début de mon message la suite exacte $1\to A\to G \to G/A \to 1$ n'était pas scindée, i.e. on n'avait pas $G\simeq A\times G/A$)