Le cas $p=2$ (exclu) d'un lemme de Serre

john_john · May 2018

Bonjour à tous,

d'après un lemme de Serre, si une matrice carrée de la forme $Id+pM$, avec $p$ premier impair et $M$ matrice carrée à coefficients entiers relatifs, est d'ordre (multiplicatif) fini, alors $M=0$. Je me suis demandé ce qu'il en subsiste lorsque $p=2$, qui est premier, mais pair (tu) ; je trouve que $Id+2M$ est d'ordre fini ssi $M$ est conjuguée dans $GL_n(\Z)$ à une matrice diagonale par blocs de la forme $Diag(-Id, 0)$ et que, dans ce cas, $Id+2M$ est d'ordre $1$ ou $2$.

Si quelqu'un s'est déjà posé la même question, merci de confirmer, le cas échéant, ce résultat !

Cordialement, j__j

Remarque : si ce résultat est avéré, cela montre en outre que la matrice $Id+2M$ est alors conjuguée dans $GL_n(\Z)$ à la matrice $Diag(-Id, +Id)$, ce qui n'est pas garanti pour une matrice d'ordre multiplicatif $2$ ; voir par exemple $\begin{pmatrix}1&1\\0&-1\end{pmatrix}$ et, pour s'en convaincre, réduire modulo $2$.

john_john · May 2018

D'ailleurs, je me dis que si le résultat est exact, cela améliore sensiblement la majoration habituelle du cardinal d'un sous-groupe fini de ${\rm GL}_n(\Z)$ : au lieu de le majorer par $|{\rm GL}_n(F_3)|$, on obtiendrait $2^n\cdot|{\rm GL}_n(F_2)|$, qui en est un $o$ lorsque $n\to+\infty$. Il existe bien entendu des majorations plus fines, mais pas élémentaires.

JLT · May 2018

Je trouve la même chose (mais j'ai écrit ça rapidement sur un coin de brouillon, d'où risque d'erreurs).

Edit : j'avais lu trop en diagonale ton message. La condition nécessaire et suffisante sur $M$ que je trouve est que $M^2+M=0$. Ceci est équivalent à ce que $M$ est conjuguée dans $GL_n(\Q)$ à $\mathrm{diag}(-I,0)$, mais pourquoi ces matrices seraient-elles conjuguées dans $GL_n(\Z)$ ?

john_john · May 2018

Bonjour, JLT,

La conjugaison par $GL_n(\Z)$ est aussi un point sur lequel j'ai un petit doute : voici donc mon raisonnement. Si $M^2+M=0$, on peut écrire toute colonne entière $X$ sous la forme $(X+MX)-MX$ qui traduit une décomposition en somme directe du $\Z$-module $\Z^n$ en les noyaux respectifs de $X\mapsto MX$ et $X\mapsto X+MX$. Comme ces modules dont de type fini et sans torsion, ils ont chacun une $\Z$-base et on conclut en les concaténant.

Shtam ou pas shtam ? Merci en attendant d'avoir levé les autres doutes !

Amicalement, j__j

L'argument ne marche pas avec la formule $M^2=Id$ ; dans ce cas, la somme directe des deux noyaux correspondants peut être d'indice $2$ comme dans l'exemple que je donnais naguère... On a alors une décomposition dans $\Q$ mais avec un coefficient $\dfrac12$.

Le cas $p=2$ (exclu) d'un lemme de Serre

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