Anneau factoriel décomposition non-unique
Bonjour
Je cherche un exemple (le plus simple possible) d'un anneau intègre vérifiant l'axiome d'existence des anneaux factoriels, i.e pour tout élément non-nul et non-inversible il existe une décomposition en éléments irréductibles, mais pas l'unicité (à association près).
En fait je cherche même plusieurs exemples bien variés.
Bien Cordialement.
Je cherche un exemple (le plus simple possible) d'un anneau intègre vérifiant l'axiome d'existence des anneaux factoriels, i.e pour tout élément non-nul et non-inversible il existe une décomposition en éléments irréductibles, mais pas l'unicité (à association près).
En fait je cherche même plusieurs exemples bien variés.
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Réponses
Est-ce que tout anneau noethérien non factoriel ne ferait pas l'affaire ?
J'allais donner l'exemple de $\Z[i\sqrt 3]$, mais Math Coss a été plus rapide que moi.
@ Math Coss
Oui, l'existence d'une décomposition en facteurs irréductibles est assurée dans tout anneau (commutatif) intègre et noethérien.
Merci pour vos réponses.
Je tente de démontrer que tout anneau A noethérien non factoriel fait l'affaire comme à proposé Math Coss. Dites-moi si c'est bon.
Par hypothèses, A est noethérien donc intègre.
Raisonnons par l'absurde : l'ensemble E des éléments non-nuls, non-inversibles et non-irréductibles qui ne puisse pas être décomposés en éléments irréductibles est donc non-vide. Puisque A est noethérien, l'ensemble des idéaux principaux engendrés par les éléments de E admet un élément maximal pour l'inclusion de la forme pA. Mais toujours car A est noethérien, cet idéal est inclus dans au moins un idéal premier, donc pA est premier et p irréductible, contradiction.
Ainsi dans A tout élément (non-nul non inversible) est produit d'éléments irréductibles. Par hypothèse A n'est pas factoriel, donc cette décomposition n'est pas unique. CQFD ?
Pour terminer ton argument, tu devrais plutôt procéder ainsi : puisque $p$ n'est pas irréductible, il existe $a$ et $b$ non inversibles tels que $p=ab$. Par maximalité, $a$ et $b$ peuvent être décomposé en produits finis d'irréductibles et donc ...
Oui j'ai divagué.
Je ne comprends pas pourquoi le raisonnement suivant est faux :
-$pA$ est principal et maximal pour l'inclusion
-$pA$ est inclus dans un idéal premier $P$
donc nécessairement $pA = P$ par maximalité de $pA$ ?
Sinon je reprends avec ton indication :
Raisonnons par l'absurde :
-Lensemble $E$ des éléments non-nuls, non-inversibles et non-irréductibles qui ne puisse pas être décomposés en éléments irréductibles est donc non-vide.
-Puisque $A$ est noethérien, l'ensemble des idéaux principaux engendrés par les éléments de $E$ admet un élément maximal pour l'inclusion de la forme $pA$.
-Puisque $p$ n'est pas irréductible, il existe $a$ et $b$ non inversibles tels que $p=ab$. Par maximalité, $a$ et $b$ peuvent être décomposé en produits finis d'irréductibles et donc $p$ se décompose en produit fini d'éléments irréductibles. -Contradiction.
J'ai une question pour être sûr : quand on dit que dans un anneau noethérien tout ensemble non vide d'idéaux admet un élément maximal pour l'inclusion, rien ne dit bien sûr que cet élément est unique ? Je cherche encore un contre-exemple mais j'ai du mal
Sinon j'essaye aussi de traiter l'exemple de GBZM :
$\mathbb{Z}$ est noethérien donc $\mathbb{Z}[X,Y,T,Z]$ aussi puis le quotient $Q=\mathbb{Z}[X,Y,Z,T]\backslash(XY-ZT)$ également. Donc tout élément de $Q$ (non-nul non-invérsible) se factorise sur les irréductibles.
$X, Y, Z,$ et $T$ ( les classes plus précisément) sont irréductibles dans $Q$, donc par construction on obtient l'égalité $XY=ZT$. Il n'y a donc pas unicité. ?
Merci