Débutant en géo algébrique
dans Algèbre
Bonsoir à tous, voilà je vais suivre un cours de géométrie algébrique l'an prochain en M2.
J'essaye de m'avancer au max !
Voilà, je viens de voir la notion de préfaisceau et faisceau, et j'essaye de faire le TD du coup.
Pour l'exo en PJ.
On définit du coup le préfaisceau abélien constant qui associe à tout ouvert U de X le groupe abélien A.
1) Pour la 1ère question, on a bien AX(U) = A non ?
2) Je dois mettre en déroute la propriété de recollement mais je ne vois pas trop comment ...
Merci d'avance pour l'aide !
J'essaye de m'avancer au max !
Voilà, je viens de voir la notion de préfaisceau et faisceau, et j'essaye de faire le TD du coup.
Pour l'exo en PJ.
On définit du coup le préfaisceau abélien constant qui associe à tout ouvert U de X le groupe abélien A.
1) Pour la 1ère question, on a bien AX(U) = A non ?
2) Je dois mettre en déroute la propriété de recollement mais je ne vois pas trop comment ...
Merci d'avance pour l'aide !
Réponses
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L'exercice consiste justement à dire que le préfaisceau des constantes n'est pas forcément un faisceau. (être constant n'est pas une propriété locale des sections, c'est être localement constant qui l'est !)
Par exemple, pour $X = \{0;1\}$ discret, il y a 4 ouverts.
Le préfaisceau constant $\R_X$ associe $\R$ à chacun.
Maintenant, si on prend une section $f(0)$ sur $\{0\}$ et $f(1)$ sur $\{1\}$, peut-on les recoller en une fonction constante $f$ sur $\{0;1\}$ ? -
1) Qu'est-ce que $\underline A_X(\emptyset)$ ? ($\emptyset$, c'est bien un ouvert, n'est-ce pas ?)
2) Et si $A$ est le groupe trivial $\{0\}$, que peut-on dire ? -
Je croyais qu'en 2018 tout le monde avait compris qu'on ne commence pas la géométrie algébrique en lisant Hartshorne ou les EGA, mais visiblement non...
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Dieudonné est à fuir, . Si tu lis l'Anglais A scrapbook on curves de Clemens ou encore plane algebraic curves de Brieskorn. Il y a aussi un très joli livre de mon ami Popescu Pampu dont tu trouves une version en français (journées X-UPS) Il faut d'abord apprendre la théorie des courbes et ne jamais se précipiter: pour aller vite il faut prendre son temps.
Mauricio -
Merci à tous pour votre aide !
@Mauricio > Alors pour infos, je n'utilise pas le Hartshorne pour le cours, c'est seulement les exercices du TD qui sont extraits de cet ouvrage.
Pour le cours j'utilise les notes de Joseph LEPOTIER. En fait je connais déja le prof qui fait le cours l'an prochain du coup je suis ses TD.
@marsup >
Ok donc il faut bien trouver un contre-exemple, dans ton idée, qu’appelles-tu section ? C'est bien un objet de AX(U) ? Donc un réel? (j'ai un peu de mal avec cette notion)
Sinon je vois bien ton idée, on a que X={0} U {1}
on prend une section sur {0}, une autre sur {1}, et on veut montrer qu'il n'existe pas une unique section sur X qui coïncide avec nos deux sections respectivement sur {0} et {1}
@GaBuZoMeu >
1) Oui le vide est un ouvert et AX(vide)={0}
2) Si A est trivial alors on aura que pour tout ouvert U, AX(U)=AX(vide)={0}. Non ? -
@marsup
J'ai lu le Perrin et effectivement c'est un plus clair,
f0 section sur {0} est un élément de l'ensemble des applications de {0} dans R, de même pour f1.
Si on veut les recoller en une fonction constante, il faudrait que f0(0)=f1(1)
Est-ce exact ? -
Mes questions avaient pour but de te faire voir que le préfaisceau $U\mapsto A$ est un faisceau si et seulement si $A$ est le groupe trivial.
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@ J'ai eu Le Potier comme prof à l'époque. Je ne savais pas qu'il avait rédigé un cours. En tout cas, à mon avis tu es sur une bien mauvaise voie, mais bon libre à toi d'emprunter le chemin que tu veux.
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@Gabuzomeu > D'accord merci, ta réponse apporte plus d'informations que la question de l'exercice (:D
@Mauricio > Je t'avoue que je trouve le cours de LEPOTIER assez difficile. Que me conseilles-tu ?
Je n'ai pas trouvé le cours de ton ami Popescu Pampu. -
Tu trouves le texte sur la page web de l'intéressé. J'ai répondu au-dessus à Aït Joseph, on peut aussi ajouter les textes de Miles Reid. En tout cas je te conseillerais de laisser tomber le formalisme tant que tu n'as pas une vraie pratique. En mathématiques, on introduit le formalisme parce qu'on en a besoin. Beaucoup de mathématiciens ont une fâcheuse tendance à utiliser les cours pour se perfectionner: "je ne suis pas expert en AC donc je vais enseigner Matsumura dans tous les détails, comme ça à la fin du semestre je le connaîtrai parfaitement." Les élèves ne comprennent rien, mais ce n'est pas grave.
L'apprentissage, ça dépend de ce que tu connais. Est-ce que tu as des bases en topologie algébrique (homologie singulière, simpliciale,celullaire)? en analyse complexe (surfaces de Riemann)? en géométrie différentielle (connection, courbure)?
Si tu n'as pas un bon niveau sur ces points (qui devraient être enseignés en licence mais ne le sont pas), il faut d'abord combler tes lacunes.
En mathématiques, il faut tout connaître donc ça demande du travail et de préférence des personnes pour te guider dans ton apprentissage. Si tu apprends les choses dans l'ordre en résolvant des problèmes, ça va assez vite, mais si tu veux apprendre les faisceaux localement constant sans savoir ce qu'est un cycle évanescent, je trouve ça un peu ridicule. Relis Molière, ça donne une bonne idée de ce qu'est une mauvaise formation universitaire et évite de devenir un autre docteur Diafoirus...
M. -
"En mathématiques, il faut tout connaître" ?
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J'ai voulu dire que tu ne peux pas être le spécialiste d'un petit domaine. C'est d'autant plus vrai pour la géométrie algébrique qui couvre et relie entre eux un très grand nombre de domaines.
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Bonjour $(-1)^n$. On dirait qu'on va suivre les mêmes cours à la rentrée. Je ne sais pas si ça va vraiment m'être très utile pour le cours d'Itenberg, mais je vais un peu réviser la géo. projective avec le livre de P. Samuel et revoir l'algèbre commutative.
Toujours aussi motivé ? ;-)
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