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Théorème de Rouché

Envoyé par Rob42 
Théorème de Rouché
l’an passé
Bonjour
Voici l’exercice qui me pose problème:

Soit n>1 un entier et a dans R avec a>e.
Montrer que l’equation az^n = e^z
possède n racines simples dans le disque unité ouvert D.

Ce qui me pose problème c’est de montrer que les zéros sont simples. Prouver qu’il y en a n est simplement l’application du théorème de Rouché à f(z)=az^n - e^z et g(z)=az^n

Merci à ceux qui m’aideront.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par JLT.
Re: Théorème de Rouche
l’an passé
Si un nombre complexe est un zéro double de $f$, c'est aussi un zéro de la dérivée $f'$. En calculant la dérivée (si ce n'est pas trop demander), tu verras assez vite que tes deux équations qui sont incompatibles.
Re: Théorème de Rouché
l’an passé
Bonjour merci pour ta réponse,

Oui j’ai pensé à ça:
On a f’(x)=nxn-1 - ez
Et f(x)=xn - ez
Comment je montre proprement que c’est deux équation sont incompatibles?

Merci d’avance
Re: Théorème de Rouché
l’an passé
Ces deux équations, il faudrait les écrire pour montrer qu'elles sont incompatibles ! Les égalités que tu as écrites ne sont pas vraiment des équations, elles sont valables pour tout $z$ complexe. Les équations que tu veux écrire doivent exprimer le complexe $z$ que tu choisis est un zéro de $f$ et de $f'$. Pour l'instant, tu ne dis rien de tel. À toi !
Re: Théorème de Rouché
l’an passé
Je dois donc résoudre le système suivant :

nzn-1 - ez = 0
zn - ez = 0

Càd
nzn-1 - ez = 0
zn - nzn-1 = 0

Càd z=0 ou z=n

Or z=0 et z=n ne sont pas racines de nzn-1 - ez

C’est bien ça ? Merci
Re: Théorème de Rouché
l’an passé
Voilà.
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