Théorème de Rouché

Rob42 · May 2018

Bonjour
Voici l’exercice qui me pose problème:

Soit n>1 un entier et a dans R avec a>e.
Montrer que l’equation az^n = e^z
possède n racines simples dans le disque unité ouvert D.

Ce qui me pose problème c’est de montrer que les zéros sont simples. Prouver qu’il y en a n est simplement l’application du théorème de Rouché à f(z)=az^n - e^z et g(z)=az^n

Merci à ceux qui m’aideront.

Math Coss · May 2018

Si un nombre complexe est un zéro double de $f$, c'est aussi un zéro de la dérivée $f'$. En calculant la dérivée (si ce n'est pas trop demander), tu verras assez vite que tes deux équations qui sont incompatibles.

Rob42 · May 2018

Bonjour merci pour ta réponse,

Oui j’ai pensé à ça:
On a f’(x)=nx^n-1 - e^z
Et f(x)=xⁿ - e^z
Comment je montre proprement que c’est deux équation sont incompatibles?

Merci d’avance

Math Coss · May 2018

Ces deux équations, il faudrait les écrire pour montrer qu'elles sont incompatibles ! Les égalités que tu as écrites ne sont pas vraiment des équations, elles sont valables pour tout $z$ complexe. Les équations que tu veux écrire doivent exprimer le complexe $z$ que tu choisis est un zéro de $f$ et de $f'$. Pour l'instant, tu ne dis rien de tel. À toi !

Rob42 · May 2018

Je dois donc résoudre le système suivant :

nz^n-1 - e^z = 0
zⁿ - e^z = 0

Càd
nz^n-1 - e^z = 0
zⁿ - nz^n-1 = 0

Càd z=0 ou z=n

Or z=0 et z=n ne sont pas racines de nz^n-1 - e^z

C’est bien ça ? Merci

Math Coss · May 2018

Voilà.

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