Théorème de Rouché
Bonjour
Voici l’exercice qui me pose problème:
Soit n>1 un entier et a dans R avec a>e.
Montrer que l’equation az^n = e^z
possède n racines simples dans le disque unité ouvert D.
Ce qui me pose problème c’est de montrer que les zéros sont simples. Prouver qu’il y en a n est simplement l’application du théorème de Rouché à f(z)=az^n - e^z et g(z)=az^n
Merci à ceux qui m’aideront.
Voici l’exercice qui me pose problème:
Soit n>1 un entier et a dans R avec a>e.
Montrer que l’equation az^n = e^z
possède n racines simples dans le disque unité ouvert D.
Ce qui me pose problème c’est de montrer que les zéros sont simples. Prouver qu’il y en a n est simplement l’application du théorème de Rouché à f(z)=az^n - e^z et g(z)=az^n
Merci à ceux qui m’aideront.
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Réponses
Oui j’ai pensé à ça:
On a f’(x)=nxn-1 - ez
Et f(x)=xn - ez
Comment je montre proprement que c’est deux équation sont incompatibles?
Merci d’avance
nzn-1 - ez = 0
zn - ez = 0
Càd
nzn-1 - ez = 0
zn - nzn-1 = 0
Càd z=0 ou z=n
Or z=0 et z=n ne sont pas racines de nzn-1 - ez
C’est bien ça ? Merci