Matrices nilpotentes

Blueberry19 · May 2018

Bonsoir à tous,

je suis en filière ECE, et j'essaye de m'entraîner sur quelques annales des années précédentes. Il y a deux petites questions du sujet ESSEC 2010 qui m'embêtent un peu, j'y réfléchis depuis tout à l'heure, mais j'ai un peu du mal à y répondre...Les réponses sont peut-être toute simple, mais je ne vois vraiment pas...
Il s'agit de la question, de Partie II- 3)c) Justifier qu'il existe une infinité de choix pour le triplet (c; e; f) de $R{^3}$ pour lesquels la matrice M est nilpotente. Et la question 4)d) En déduire que l'ensemble D3 contient une infinité de matrices nilpotentes qui ne sont pas
triangulaires. ( J'imagine que les deux questions sont liées).
Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?
Je vous remercie d'avance,
Belle soirée à tous !

Guego · May 2018

Sers-toi des questions précédentes : pour que $M$ soit nilpotente, il suffit que $\gamma(M) =0$ et $\delta(M) = 0$. Donc remplace $a$, $b$ et $d$ par $1$, et cherche $c,e,f$ pour que $\gamma(M) =0$ et $\delta(M) = 0$. Tu devrais trouver une infinité de solutions.

Blueberry19 · May 2018

Bonsoir Guego,

merci pour votre réponse. Donc si je comprends bien, ( raisonnement brouillon)

ma matrice M est nilpotente uniquement si $ac+df+be=0$ et $bcf+ade=0$
Or dans la question on suppose que a, b et d sont égaux à 1.
Donc on $c+f+e =0$
Et , $ cf+e=0$
Ah, c'est bon j'ai compris !! Il faut poser un système, mon f semble me poser un problème.. Si f n'est pas égal à 1, donc mon système admet une infinité de solution . Et que par conséquent , il y a une infinité de choix pour le triplet .
Merci.

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