Objet canoniquement défini
Bonsoir,
Souvent on entend parler d'objet canoniquement défini : base canonique d'une ev, produit scalaire canonique, ordre canonique sur une dioïde sélective, etc....
Mais qu'est-ce qui différencie un objet lambda d'un objet "canonique" outre le fait que ces dernier soient "naturel" à définir ?
Je sais que cela a un rapport avec les catégories mais impossible d'en savoir plus ! un expert a-t-il la réponse ?
Souvent on entend parler d'objet canoniquement défini : base canonique d'une ev, produit scalaire canonique, ordre canonique sur une dioïde sélective, etc....
Mais qu'est-ce qui différencie un objet lambda d'un objet "canonique" outre le fait que ces dernier soient "naturel" à définir ?
Je sais que cela a un rapport avec les catégories mais impossible d'en savoir plus ! un expert a-t-il la réponse ?
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Réponses
Bref l'utilisation du mot canonique me semble plus relever de l'usage que d'une explication mathématique, et les tentatives (il y en a eu sur le forum) de donner une définition catégorique ne m'ont jamais convaincu
Comme GBZM l'explique, ces tentatives sont parfois insatisfaisantes (mais parfois le sont !).
Je pense que pour "canonique" on peut s'en tenir à une définition comme "ce que les mathématicien.ne.s qui sont en train d'en parler comprennent, si il y a un consensus clair"
Cela évite le choix arbitraire de [1,n] pour l'espace vectoriel, et [1,m] × [1,n] pour les matrices, et donne bien une base canonique, non ?
@David Olivier c'est exactement pourquoi je me suis posé la question
Si $F,G: C\to D$ sont deux foncteurs ($C,D$ catégories), alors une famille $(\theta_X)_{X\in Ob(C)}$ de flèches $\theta_X: F(X) \to G(X)$ est une transformation naturelle $F\implies G$ si pour toute $C$-flèche $f:X\to Y$, le diagramme "évident" commute, i.e. (dessine-le pour voir en quoi il est évident) $\theta_Y\circ F(f) = G(f)\circ \theta_X$.
PS : j'imagine que F et G sont supposés covariants ?
(Oui dans la terminologie standard, un foncteur est covariant; il me semble)