Matrice de réflexion

Bonjour, suite à un malentendu avec une correction sur une exercice, j'ai décidé d'appeler à l'aide.

Le problème consiste à déterminer l'axe de de la symétrie associée à la matrice, ainsi qu'une éventuelle matrice conjuguée.
Voici la matrice : $ M = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 4 & -3\end{pmatrix}$
Donc $\det(M) = -1$ donc $M \in O_{2-}(\mathbb{R})$, ainsi la matrice $M$ est une matrice de réflexion, pour déterminer l'axe de la réflexion associé j'utilise la méthode des éléments invariants (ou points fixes associés à l'endomorphisme que la matrice représente).

En résolvant l'équation : $MX = X$ où $X = (x,y) \in \mathbb{R}^2$ je trouve l'ensemble des solutions : $S = vect((2,1))$ donc l'axe de symétrie est la droite engendré par le vecteur $(2,1)$.

Cependant dans la correction de mon professeur, il trouve : $vect((2,1),(-1,2))$ (je ne sais plus si c'est ça mais en tout cas il trouve un plan de symétrie et non une droite). Alors je ne comprends pas, est-ce ma méthode qui est mauvaise ? Ou y a-t-il une coquille dans la correction de mon prof. Merci de m'éclairer.

(au passage il me semble qu'il existe aussi une autre méthode pour déterminer l'axe de symétrie, par diagonalisation de la matrice et détermination des vecteurs propres, si quelqu'un pouvait m'éclairer plus précisément sur cette méthode, car elle pourrait en particulier m'aider à trouver facilement la matrice $U$ de l'exercice, avec moins de calculs).