Polynômes et racines de $X^3-X^2-1$
Le polynôme $P_0 = X^3-X^2-1$ a 3 racines : une racine réelle $r$ et deux racines complexes conjuguées $\alpha$ et $\overline{\alpha}$. Si $P$ est un polynôme de $\Q[X]$ tel que $P(r) = 0$, alors $P$ est un multiple du polynôme minimal de $r$ sur $\Q$, à savoir $P_0$. On en déduit qu'on a alors également $P(\alpha) = 0$ et $P(\overline{\alpha}) = 0$, et donc $P(r) + P(\alpha) + P(\overline{\alpha}) = 0$.
La réciproque est fausse en général : si $P(X) = X-1$, on a $P(r) + P(\alpha) + P(\overline{\alpha}) = 0$, mais pas $P(r) =0$. Mais y a-t-il une condition simple sur $P$ pour laquelle ce soit vrai (à savoir que, sous cette hypothèse, $P(r) + P(\alpha) + P(\overline{\alpha}) = 0$ implique $P(r) = P(\alpha) = P(\overline{\alpha}) = 0$) ?
La réciproque est fausse en général : si $P(X) = X-1$, on a $P(r) + P(\alpha) + P(\overline{\alpha}) = 0$, mais pas $P(r) =0$. Mais y a-t-il une condition simple sur $P$ pour laquelle ce soit vrai (à savoir que, sous cette hypothèse, $P(r) + P(\alpha) + P(\overline{\alpha}) = 0$ implique $P(r) = P(\alpha) = P(\overline{\alpha}) = 0$) ?
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Réponses
PS : mon message d'origine est assez vague. C'est pour voir si quelqu'un avait quelque chose d'intéressant à proposer sans que je rentre dans les détails. Si personne ne répond, j'écrirai un autre message demain pour préciser la question.
Le noyau de la trace est un hyperplan de $K$.
Guego, il serait bon que tu précises ta question, parce que là, on ne voit pas où tu veux en venir.
* attention, spoilers pour le problème 558 de project Euler *
Dans ce problème : https://projecteuler.net/problem=558 il est question d'écrire les entiers naturels comme somme de puissances de $r$ (les exposants dans les puissances devant être distants d'au moins 3).
Une méthode pour cela est bêtement d'utiliser un algorithme glouton. Par exemple, pour $10$, la plus grand puissance de $r$ inférieure à $10$ est $r^6$. On soustrait, et on recommence : la plus grande puissance de $r$ inférieure à $10-r^6$ est $r^{-7}$. On soustrait et on recommence : la plus grande puissance de $r$ inférieure à $10-r^6-r^{-7}$ est $r^{-10}$, et c'est fini car $10-r^6-r^{-7}-r^{-10} = 0$.
Si on ne veut pas s'embarrasser de puissances négatives, on peut commencer par multiplier notre entier naturel de départ par une puissance de $r$ suffisamment grande avant d'appliquer l'algorithme glouton. Par exemple, pour $10$, on commence par multiplier par $r^{20}$, et on applique l'algorithme précédent sur $10r^{20}$. On trouve $10r^{20} = r^{26} + r^{13}+r^{10}$ (qui ne met en jeu que des puissances positives), et on divise par $r^{20}$ pour obtenir le résultat.
Ceci étant posé, un internaute dit avoir utilisé une variante de cette dernière méthode : plutôt que travailler avec des puissances de $r$ (ce qui est un peu pénible informatiquement), il a posé $a_k = r^k + \alpha^k + \overline{\alpha}^k$ pour tout $k$ (qui a le bon goût d'être entier), et a appliqué la méthode précédente en remplaçant les $r^k$ par $a_k$. Par exemple, pour $10$, on commencer par multiplier par $a_{20}$, puis on écrit le résultat comme somme d'éléments de la suite $(a_i)$. On trouve $10a_{20} = a_{26} + a_{13} + a_{10}$. D'où il en déduit (?) que $10r^{20} = r^{26} + r^{13}+r^{10}$, puis $10 = r^6+r^{-7}+r^{-10}$.
Sur tous les exemples que j'ai pu testé, il se trouve que ça marche, et cet internaute a trouvé la bonne réponse au problème grâce à ça. La question est : pourquoi ça marche ? Pourquoi, peut-on affirmer que $na_k = \displaystyle \sum_i \epsilon_i a_i$ implique que $nr^k = \displaystyle \sum_i \epsilon_i r^i$ ?
Mais bon c'est un peu de la triche puisqu'il manque $+r^{-1}$ et que $a_{-1}=0$.