L'homme ne montre son véritable visage qu'une fois qu'il a ôté sa culotte. (Sade)
Sur un exercice de Monier
dans Algèbre
Bonjour,
Dans Méthodes et exercices MPSI on trouve l'exercice suivant :
montrer que $(a+b+c)^2 \le 4a^2 + 4b^2 + 2c^2$.
Partant de ce résultat, on obtient par symétrie
$(a+b+c)^2 \le 4b^2 + 4c^2 + 2a^2$.et $(a+b+c)^2 \le 4c^2 + 4a^2 + 2b^2$
puis par addition
$3(a+b+c)^2 \le 10(a^2 + b^2 + c^2)$.
Peut-on prouver la dernière formule d'une manière plus directe ?
A+
Dans Méthodes et exercices MPSI on trouve l'exercice suivant :
montrer que $(a+b+c)^2 \le 4a^2 + 4b^2 + 2c^2$.
Partant de ce résultat, on obtient par symétrie
$(a+b+c)^2 \le 4b^2 + 4c^2 + 2a^2$.et $(a+b+c)^2 \le 4c^2 + 4a^2 + 2b^2$
puis par addition
$3(a+b+c)^2 \le 10(a^2 + b^2 + c^2)$.
Peut-on prouver la dernière formule d'une manière plus directe ?
A+
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Réponses
Ici, je trouve $10(a^2+b^2+c^2)-3(a+b+c)^2 = 7\left(a-\dfrac{3}{7}b-\dfrac{3}{7}c\right)^2 + \dfrac{40}{7}\left(b-\dfrac{3}{4}c\right)^2 + \dfrac{5}{2}c^2$.
$$\left( \sum_{k=1}^n a_k \right)^\lambda \leqslant \max \left( 1,n^{\lambda-1} \right) \sum_{k=1}^n a_k^\lambda.$$
À conserver dans ses tablettes, c'est tellement important...