Sur un exercice de Monier

Piteux_gore · May 2018

Bonjour,

Dans Méthodes et exercices MPSI on trouve l'exercice suivant :
montrer que $(a+b+c)^2 \le 4a^2 + 4b^2 + 2c^2$.

Partant de ce résultat, on obtient par symétrie
$(a+b+c)^2 \le 4b^2 + 4c^2 + 2a^2$.et $(a+b+c)^2 \le 4c^2 + 4a^2 + 2b^2$
puis par addition
$3(a+b+c)^2 \le 10(a^2 + b^2 + c^2)$.

Peut-on prouver la dernière formule d'une manière plus directe ?

A+

Guego · May 2018

On regarde la différence entre les 2 membres : c'est une forme quadratique. On peut alors montrer qu'elle est définie positive en l'écrivant comme somme de carrés, par exemple avec l'algorithme de Gauss.
Ici, je trouve $10(a^2+b^2+c^2)-3(a+b+c)^2 = 7\left(a-\dfrac{3}{7}b-\dfrac{3}{7}c\right)^2 + \dfrac{40}{7}\left(b-\dfrac{3}{4}c\right)^2 + \dfrac{5}{2}c^2$.

Guego · May 2018

En fait, bien plus simple : par Cauchy-Schwarz (appliqué aux vecteurs $(a,b,c)$ et $(1,1,1)$), on a $(a+b+c)^2 \leqslant 3(a^2+b^2+c^2)$, qui donne le résultat.

noix de totos · May 2018

Plus généralement, avec Cauchy-Hölder, pour tout $\lambda > 0$, tout $n \in \mathbb{Z}_{\geqslant 1}$ et tous réels $a_1,\dotsc,a_n > 0$
$$\left( \sum_{k=1}^n a_k \right)^\lambda \leqslant \max \left( 1,n^{\lambda-1} \right) \sum_{k=1}^n a_k^\lambda.$$
À conserver dans ses tablettes, c'est tellement important...

Sur un exercice de Monier

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