Annulateurs dans une algèbre commutative
Bonjour.
J'ai besoin du résultat suivant dans l'un de mes travaux de recherche en cours :
Dans une algèbre commutative (et unitaire) sur un corps $\K$, soit $a_1,\dots,a_p$ pour lesquels on dispose de polynômes annulateurs unitaires scindés respectifs $P_1=\prod_{i=1}^{N_1}(X-z_{1,i}),\dots,
P_p=\prod_{i=1}^{N_p} (X-z_{p,i})$. Soit $R \in \K[X_1,\dots,X_p]$. Alors, l'élément $R(a_1,\dots,a_p)$ est annulé par le polynôme
$$Q:=\prod_{(i_1,\dots,i_p) \in \{1,\dots,N_1\} \times \cdots \times \{1,\dots,N_p\}}
(X-R(z_{1,i_1},\dots,z_{p,i_p})\bigr).$$
Je sais démontrer cela de manière élémentaire (congruence modulo un idéal) : je suis uniquement à la recherche d'une référence (ouvrage ou article) pour ce joli résultat qui devrait être bien connu.
Merci.
J'ai besoin du résultat suivant dans l'un de mes travaux de recherche en cours :
Dans une algèbre commutative (et unitaire) sur un corps $\K$, soit $a_1,\dots,a_p$ pour lesquels on dispose de polynômes annulateurs unitaires scindés respectifs $P_1=\prod_{i=1}^{N_1}(X-z_{1,i}),\dots,
P_p=\prod_{i=1}^{N_p} (X-z_{p,i})$. Soit $R \in \K[X_1,\dots,X_p]$. Alors, l'élément $R(a_1,\dots,a_p)$ est annulé par le polynôme
$$Q:=\prod_{(i_1,\dots,i_p) \in \{1,\dots,N_1\} \times \cdots \times \{1,\dots,N_p\}}
(X-R(z_{1,i_1},\dots,z_{p,i_p})\bigr).$$
Je sais démontrer cela de manière élémentaire (congruence modulo un idéal) : je suis uniquement à la recherche d'une référence (ouvrage ou article) pour ce joli résultat qui devrait être bien connu.
Merci.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
On prend, pour chaque multiindice $(i_1,\dots,i_p)\in \{1,\dots,N_1\} \times \cdots \times \{1,\dots,N_p\}$, l'idéal $I_{i_1,\dots,i_p}$ engendré par les éléments $a_1-z_{1,i_1},\dots,a_p-z_{p,i_p}$. En utilisant les congruences, on trouve que le facteur $R(a_1,\dots,a_p)-R(z_{1,i_1} \dots,z_{p,i_p})$ appartient à cet idéal.
Pour conclure, il suffit de montrer la nullité de l'idéal produit de tous les idéaux $I_{i_1,\dots,i_p}$, lorsque $(i_1,\dots,i_p)$ parcourt $\{1,\dots,N_1\} \times \cdots \times \{1,\dots,N_p\}$.
Cela revient à montrer que pour toute fonction $f : \{1,\dots,N_1\} \times \cdots \times \{1,\dots,N_p\} \rightarrow \{1,\dots,p\}$, le produit
$$\prod_{i_1,\dots,i_p} (a_{f(i_1,\dots,i_p)}-z_{f(i_1,\dots,i_p),i_{f(i_1,\dots,i_p)}})$$
est nul (oui, je sais il est ignoble, mais je ne vois pas bien comment noter plus simplement les choses).
Pour cela, on fixe $f$. Il suffit de montrer qu'il existe un indice $j \in \{1,...,p\}$ pour lequel il existe, pour tout $k \in \{1,\dots,N_j\}$, une liste $(i_1,\dots,i_{j-1},i_{j+1},\dots,i_p)$ telle que $f(i_1,\dots,i_{j-1},k,i_{j+1},\dots,i_n)=j$ (en effet, dans ce cas le gros produit plus haut contient formellement tous les facteurs $a_j-z_{j,k}$ et est donc nul). Par l'absurde, si un tel indice $j$ n'existait pas alors pour tout $j \in \{1,...,p\}$ il existerait un indice $k_j \in \{1,\dots,N_j\}$ tel que $f(i_1,\dots,i_{j-1},k_j,i_{j+1},\dots,i_p)\neq j$ pour toute liste $(i_1,\dots,i_{j-1},i_{j+1},\dots,i_p)$ (avec $i_1$ dans $\{1,\dots,N_1\}$ etc). Mais alors on trouverait une contradiction en évaluant $f$ en la liste $(k_1,\dots,k_p)$.