Question naïve

Anas Mourahib · May 2018

Bonjour

Dans le cours d’Algèbre de cette année on un tout petit premier chapitre des formes linéaires, et puis un très grand chapitre de formes bilinéaires, je me demande s'il y'a une relation entre ces deux chapitres?

Cordialement

Math Coss · May 2018

Si on se donne une forme bilinéaire $B:E\times E\to K$ (où $E$ est un espace vectoriel sur un corps $K$), alors, dès que l'on fixe un vecteur $v$ dans $E$, l'application $E\to K$, $w\mapsto B(v,w)$ et l'application $E\to K$, $w\mapsto B(w,v)$ sont des formes linéaires (elles sont égales si $B$ est symétrique, opposées si $B$ est anti-symétrique).

paf · May 2018

Au moins 2 idées:
- le "produit tensoriel" de 2 formes linéaires $\varphi$ et $\psi$ (sur un même espace vectoriel $E$) défini sur $E\times E$ par
$$ \varphi\otimes \psi :(x,y) \mapsto \varphi(x)\psi(y) $$
est une forme bilinéaire ;
- toute forme quadratique est une combinaison linéaire de carrés de formes linéaires et si on utilise des espaces vectoriels sur $\mathbb R$, resp. $\mathbb C$, on peut même n'avoir que des coefficients égaux à $\pm 1$, resp. 1. Pour $\mathbb R$, voir la loi d'inertie de Sylvester. Comme la donnée d'une forme quadratique est équivalente à celle de la forme bilinéaire symétrique associée, c'est intéressant aussi pour les formes bilinéaires symétriques.

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