Une implication dans un calcul en physique
Bonjour à tous,
Je viens de tomber sur un calcul en physique et il y a une implication que je n'arrive pas à comprendre. Ça se veut tout basique.
De ça:
$\left\{ \begin{array}{ccc}
{\displaystyle c_{+}(z_{0})k_{+}\cos\left(k_{+}(z_{0}-H)\right)-a_{+}(z_{0})k_{+}\cos\left(k_{+}z_{0}\right)} & = & {\displaystyle \frac{S_{0}}{4\pi V}}\\
{\displaystyle c_{+}(z_{0})\sin\left(k_{+}(z_{0}-H)\right)-a_{+}(z_{0})\sin\left(k_{+}z_{0}\right)} & = & {\displaystyle 0}
\end{array}\right.$
On déduit:
$\left\{ \begin{array}{ccc}
a_{+}(z_{0}) & = & {\displaystyle \frac{S_{0}}{4\pi V}\frac{\sin\left(k_{+}(z_{0}-H)\right)}{k_{+}\sin\left(k_{+}H\right)}}\\
c_{+}(z_{0}) & = & {\displaystyle \frac{S_{0}}{4\pi V}\frac{\sin\left(k_{+}z_{0}\right)}{k_{+}\sin\left(k_{+}H\right)}}
\end{array}\right.$
Dans les cas où l'expression a un sens.
Je sais bien que:
$\sin\left(k_{+}(z_{0}-H)\right)=\cos\left(k_{+}z_{0}\right)\sin\left(k_{+}H\right)+\sin\left(k_{+}z_{0}\right)\cos\left(k_{+}H\right)$
$\cos\left(k_{+}(z_{0}-H)\right)=\cos\left(k_{+}z_{0}\right)\cos\left(k_{+}H\right)-\sin\left(k_{+}z_{0}\right)\sin\left(k_{+}H\right)$
Mais rien n'y fait. Est-ce que quelqu'un aurait une explication?
$S_{0}$, $V$, $k_{+}$, $z_{0}$ et $H$ sont réels et positifs. $a_{+}(z_{0})$ et $c_{+}(z_{0})$ sont réels.
Merci beaucoup!
Je viens de tomber sur un calcul en physique et il y a une implication que je n'arrive pas à comprendre. Ça se veut tout basique.
De ça:
$\left\{ \begin{array}{ccc}
{\displaystyle c_{+}(z_{0})k_{+}\cos\left(k_{+}(z_{0}-H)\right)-a_{+}(z_{0})k_{+}\cos\left(k_{+}z_{0}\right)} & = & {\displaystyle \frac{S_{0}}{4\pi V}}\\
{\displaystyle c_{+}(z_{0})\sin\left(k_{+}(z_{0}-H)\right)-a_{+}(z_{0})\sin\left(k_{+}z_{0}\right)} & = & {\displaystyle 0}
\end{array}\right.$
On déduit:
$\left\{ \begin{array}{ccc}
a_{+}(z_{0}) & = & {\displaystyle \frac{S_{0}}{4\pi V}\frac{\sin\left(k_{+}(z_{0}-H)\right)}{k_{+}\sin\left(k_{+}H\right)}}\\
c_{+}(z_{0}) & = & {\displaystyle \frac{S_{0}}{4\pi V}\frac{\sin\left(k_{+}z_{0}\right)}{k_{+}\sin\left(k_{+}H\right)}}
\end{array}\right.$
Dans les cas où l'expression a un sens.
Je sais bien que:
$\sin\left(k_{+}(z_{0}-H)\right)=\cos\left(k_{+}z_{0}\right)\sin\left(k_{+}H\right)+\sin\left(k_{+}z_{0}\right)\cos\left(k_{+}H\right)$
$\cos\left(k_{+}(z_{0}-H)\right)=\cos\left(k_{+}z_{0}\right)\cos\left(k_{+}H\right)-\sin\left(k_{+}z_{0}\right)\sin\left(k_{+}H\right)$
Mais rien n'y fait. Est-ce que quelqu'un aurait une explication?
$S_{0}$, $V$, $k_{+}$, $z_{0}$ et $H$ sont réels et positifs. $a_{+}(z_{0})$ et $c_{+}(z_{0})$ sont réels.
Merci beaucoup!
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Réponses
Les formules ‘que tu sais’ sont fausses. Erreur de signe. Résolution par substitution.
C'est exact pardon... j'ai recopié un peu vite!
$\sin\left(k_{+}(z_{0}-H)\right)=\sin\left(k_{+}z_{0}\right)\cos\left(k_{+}H\right)-\cos\left(k_{+}z_{0}\right)\sin\left(k_{+}H\right)$
$\cos\left(k_{+}(z_{0}-H)\right)=\cos\left(k_{+}z_{0}\right)\cos\left(k_{+}H\right)+\sin\left(k_{+}z_{0}\right)\sin\left(k_{+}H\right)$
En partant de:
$\left\{ \begin{array}{ccc}
{\displaystyle c_{+}(z_{0})k_{+}\cos\left(k_{+}(z_{0}-H)\right)-a_{+}(z_{0})k_{+}\cos\left(k_{+}z_{0}\right)} & = & {\displaystyle \frac{S_{0}}{4\pi V}}\\
{\displaystyle c_{+}(z_{0})\sin\left(k_{+}(z_{0}-H)\right)-a_{+}(z_{0})\sin\left(k_{+}z_{0}\right)} & = & {\displaystyle 0}
\end{array}\right.$
Par substitution si $\sin\left(k_{+}z_{0}\right)\neq0$:
$\Rightarrow\left\{ \begin{array}{ccc}
{\displaystyle c_{+}(z_{0})\left[\cos\left(k_{+}(z_{0}-H)\right)+{\displaystyle \frac{\sin\left(k_{+}(z_{0}-H)\right)}{\sin\left(k_{+}z_{0}\right)}}\right]} & = & {\displaystyle \frac{S_{0}}{4\pi Vk_{+}}}\\
{\displaystyle a_{+}(z_{0})} & = & {\displaystyle c_{+}(z_{0})\frac{\sin\left(k_{+}(z_{0}-H)\right)}{\sin\left(k_{+}z_{0}\right)}}
\end{array}\right.$
En supposant que tout va bien on a alors:
$\left\{ \begin{array}{ccc}
{\displaystyle c_{+}(z_{0})} & = & {\displaystyle \frac{S_{0}}{4\pi Vk_{+}}\frac{\sin\left(k_{+}z_{0}\right)}{\sin\left(k_{+}z_{0}\right)\cos\left(k_{+}(z_{0}-H)\right)+\sin\left(k_{+}(z_{0}-H)\right)}}\\
{\displaystyle a_{+}(z_{0})} & = & {\displaystyle c_{+}(z_{0})\frac{\sin\left(k_{+}(z_{0}-H)\right)}{\sin\left(k_{+}z_{0}\right)}}
\end{array}\right.$
Ce qui devrait en fait donner:
$\left\{ \begin{array}{ccc}
c_{+}(z_{0}) & = & {\displaystyle \frac{S_{0}}{4\pi V}\frac{\sin\left(k_{+}z_{0}\right)}{k_{+}\sin\left(k_{+}H\right)}}\\
a_{+}(z_{0}) & = & {\displaystyle \frac{S_{0}}{4\pi V}\frac{\sin\left(k_{+}(z_{0}-H)\right)}{k_{+}\sin\left(k_{+}H\right)}}
\end{array}\right.$
Est-il vrai que:
$\sin\left(k_{+}z_{0}\right)\cos\left(k_{+}(z_{0}-H)\right)+\sin\left(k_{+}(z_{0}-H)\right) =\sin\left(k_{+}H\right)$ ??
Ma calculette me dit que non...
J'ai l'impression qu'il y a un problème quelque part!
Merci beaucoup
Encore une erreur... dans la substitution. Il y a un cosinus en facteur de $a_+$...
C'est bon j'ai réussi le calcul! Merci beaucoup!
Désolé pour les erreurs
Bonne soirée à vous