Applications
Bonjour,
Soit $E, E', F, F'$ quatre ensembles et $u:E'\rightarrow E, v:F\rightarrow F'$. On définit $\Phi:f\in F^E\mapsto v\circ f\circ u\in (F')^{E'}$.
A-t-on $(u\text{ surjective et }v\text{ injective })\iff (\Phi\text{ injective })$ ?
J'ai réussi le sens $(\implies)$ mais je bloque pour le sens réciproque. Une idée ?
Soit $E, E', F, F'$ quatre ensembles et $u:E'\rightarrow E, v:F\rightarrow F'$. On définit $\Phi:f\in F^E\mapsto v\circ f\circ u\in (F')^{E'}$.
A-t-on $(u\text{ surjective et }v\text{ injective })\iff (\Phi\text{ injective })$ ?
J'ai réussi le sens $(\implies)$ mais je bloque pour le sens réciproque. Une idée ?
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Réponses
Montre que si $u$ n'est pas surjective alors $\Phi$ n'est pas injective, et que si $v$ n'est pas injective, $\Phi$ non plus.
J'ai essayé : il existe $z\in E\backslash u(E')$. Mais je ne sais pas comment construire deux applications $f,g:E\rightarrow F$ distinctes telles que $\Phi (f)=\Phi (g)$.
> J'ai essayé : il existe $z\in E\backslash u(E')$. Mais je ne sais pas comment construire deux
> applications $f,g:E\rightarrow F$ distinctes telles que $\Phi (f)=\Phi (g)$.
C'est plutôt l'inverse : tu supposes $f,g $ telles que $\Phi (f)=\Phi (g)$ et tu essayes de montrer que l'on n'a pas nécessairement $f=g$. C'est ici que ton $z$ devient utile.