Endomorphisme nilpotent échangeur
dans Algèbre
Bonjour à tous, je coince sur cet énoncé.
Source : http://beos.prepas.org/?q=Epreuve Orale 3036
Dans $E$ un $\C$-ev de dimension finie, $u \in L(E)$, nilpotent et vérifiant :
il existe $a$ et $b$ dans $L(E)$ tel que $u=a+b$, $a^2=b^2=0$.
Montrer qu'il existe $F,G$ sev de $E$ tels que $E=F\oplus G$ et $u(F)\subset G$, $u(G) \subset F$.
Avec la réduction de Jordan, l'hypothèse de nilpotence me semble suffisante, on peut en déduire l'existence de $a$ et $b$ tels que ... (sauf erreur) et on peut aussi construire $F$ et $G$ satisfaisants.
Mais sans Jordan, je ne vois pas...
Source : http://beos.prepas.org/?q=Epreuve Orale 3036
Dans $E$ un $\C$-ev de dimension finie, $u \in L(E)$, nilpotent et vérifiant :
il existe $a$ et $b$ dans $L(E)$ tel que $u=a+b$, $a^2=b^2=0$.
Montrer qu'il existe $F,G$ sev de $E$ tels que $E=F\oplus G$ et $u(F)\subset G$, $u(G) \subset F$.
Avec la réduction de Jordan, l'hypothèse de nilpotence me semble suffisante, on peut en déduire l'existence de $a$ et $b$ tels que ... (sauf erreur) et on peut aussi construire $F$ et $G$ satisfaisants.
Mais sans Jordan, je ne vois pas...
Réponses
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Bonjour.
Cet exercice est probablement mal rapporté. La nilpotence suffit effectivement, via la réduction de Jordan, à montrer l'existence du couple $(a,b)$, et aussi l'existence de $(F,G)$ (et par la même méthode).
En revanche, je ne vois pas plus que vous comment la démonstration serait simplifiée par la combinaison de l'hypothèse de nilpotence de $u$ et de celle de l'existence du couple $(a,b)$.
Par ailleurs, je ne connais aucune démonstration de l'existence du couple $(a,b)$, dans le cas nilpotent, qui fasse l'économie de la réduite de Jordan (en fait, si j'en connais une mais elle est nettement plus compliquée que la simple démonstration de la réduction de Jordan, donc je la passerai sous silence). -
Je craignais rater un truc évident.
Merci beaucoup!
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Bonjour!
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