Endomorphisme nilpotent échangeur

Bonjour.

Cet exercice est probablement mal rapporté. La nilpotence suffit effectivement, via la réduction de Jordan, à montrer l'existence du couple $(a,b)$, et aussi l'existence de $(F,G)$ (et par la même méthode).
En revanche, je ne vois pas plus que vous comment la démonstration serait simplifiée par la combinaison de l'hypothèse de nilpotence de $u$ et de celle de l'existence du couple $(a,b)$.

Par ailleurs, je ne connais aucune démonstration de l'existence du couple $(a,b)$, dans le cas nilpotent, qui fasse l'économie de la réduite de Jordan (en fait, si j'en connais une mais elle est nettement plus compliquée que la simple démonstration de la réduction de Jordan, donc je la passerai sous silence).