Bonjour. Je traitais un sujet et je me suis bloqué au niveau de cet exercice.
a/ Déterminer tous les sous-groupes de Z/40Z;
b/ Situer <cl(25)> et <cl(14)> parmi ces groupes.
c/ Déterminer <cl(25)> + <cl(14)> et <cl(25)> inter <cl(14)>
Bonjour.
Par definition Z/nZ = {cl0 ,cl 1, ..., cl(n-1)}
et d'apres un théoreme (Z/nZ , + ) est un groupe cyclique dont les générateurs cl(m) avec m et n sont premiers entre eux . Donc
1/
Les sous groupes(generateurs seulement ) de Z/40Z sont cl1 cl3 cl7 cl9 cl11 cl13 cl17 cl19 cl21 cl23 cl27 cl29 cl31 cl31 cl33 cl37 cl39
2/
ordre de cl k = n / pgcd (k , n)
Alors
ordre de cl 25 = 8
ordre de cl 14 = 20
3/
On en deduit que cl25 = cl8= { cl0 ,cl1, ..., cl 36} = 8.G avec G = Z/40Z
et cl14= cl20 ={0, 20}= 20.G
Tes réponses aux deux premières questions ne vont pas.
Dans la première, tu réponds à la question « quels sont les éléments qui engendrent $\Z/40\Z$ ? », ça n'a rien à voir avec « quels sont les sous-groupes de $\Z/40\Z$ ? ». Un critère : tu donnes une liste d'éléments alors qu'on attend une liste de sous-groupes (un sous-groupe est une partie).
Dans la deuxième question, il faut retrouver le groupe engendré dans la liste que tu auras trouvée pour la question précédente.
La troisième question, ça m'a l'air très faux.
Réponses
Qu'as-tu fait ? Où bloques-tu ?
Par definition Z/nZ = {cl0 ,cl 1, ..., cl(n-1)}
et d'apres un théoreme (Z/nZ , + ) est un groupe cyclique dont les générateurs cl(m) avec m et n sont premiers entre eux . Donc
1/
Les sous groupes(generateurs seulement ) de Z/40Z sont cl1 cl3 cl7 cl9 cl11 cl13 cl17 cl19 cl21 cl23 cl27 cl29 cl31 cl31 cl33 cl37 cl39
2/
ordre de cl k = n / pgcd (k , n)
Alors
ordre de cl 25 = 8
ordre de cl 14 = 20
3/
On en deduit que cl25 = cl8= { cl0 ,cl1, ..., cl 36} = 8.G avec G = Z/40Z
et cl14= cl20 ={0, 20}= 20.G
Dans la première, tu réponds à la question « quels sont les éléments qui engendrent $\Z/40\Z$ ? », ça n'a rien à voir avec « quels sont les sous-groupes de $\Z/40\Z$ ? ». Un critère : tu donnes une liste d'éléments alors qu'on attend une liste de sous-groupes (un sous-groupe est une partie).
Dans la deuxième question, il faut retrouver le groupe engendré dans la liste que tu auras trouvée pour la question précédente.
La troisième question, ça m'a l'air très faux.