Application linéaire

Après sept mois et 155 messages à ce jour, tu pourrais commencer à mettre des dollars autour de tes formules mathématiques pour le confort de lecture des autres – oui, certes, c'est surtout pour les autres.

Petite faute de frappe dans la définition de $f$, si on en croit la suite : $f(x,y,z)=(z,x,y)$ ?

Pour trouver une base d'un espace vectoriel défini par un système d'équations (ici, l'équation vectorielle $f(u)=u$ est équivalente à un système de trois équations à trois inconnues : l'as-tu écrit ?), on résout le système (l'as-tu résolu ?). On dégage ainsi des « inconnues principales » et des « inconnues secondaires », on exprime les premières en fonction des secondes et hop : les vecteurs

Je te fais un exemple : $G$ est le sous-espace défini par le système $x+y+z=0$, $x-y+z=0$, $3x+y+3z=0$. On résout ce système avec l'algorithme du pivot de Gauss :\begin{align*}\begin{cases}\fbox{1}x+y+z=0&(E_1)\\\hphantom{\fbox{1}}x-y+z=0&(E_2)\\\hphantom{2}3x+y+3z=0&(E_3)\end{cases}&\iff
\begin{cases}x+y+z=0&(E_1)\\\hphantom{x}-2y=0&(E_2-E_1)\\\hphantom{x}-2y=0&(E_3-3E_1)\end{cases}\\&\iff
\begin{cases}x+y=-z\\\hphantom{x+}y=0\end{cases}
\\&\iff\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=z\,\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}.\end{align*}On en déduit que $(-1,0,1)$ est une base de $G$ (pourquoi ?).

C'est vraiment trop cher pour toi, quelques dollars autour des formules ?

Avec la méthode de Gauss, il n'y a pas d'exemple plus simple ou plus difficile. On veut résoudre le système $x=y$, $y=z$, $z=x$. Il suffit d'aligner les inconnues dans les équations. En avant :\begin{align*}\begin{cases}\fbox{1}x-y\hphantom{+z}=0&(E_1)\\
\hphantom{\fbox{1}x-}y-z=0&(E_2)\\
\hphantom{\fbox{1}}x\hphantom{-y}-z=0&(E_3)\end{cases}
&\iff\begin{cases}x-y\hphantom{+z}=0\\
\hphantom{x-}y-z=0\\
\hphantom{x+}y-z=0&(E_3-E_1)\end{cases}\\
&\iff\begin{cases}x-y\hphantom{+z}=0\\
\hphantom{x-}y-z=0\end{cases}\quad\text{(système triangulaire)}\\
&\iff\begin{cases}x=z\\y=z\end{cases}\\
&\iff\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=z\,\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\end{align*}On en déduit bien que $(1,1,1)$ est une base de $F$ (pourquoi encore ?).

Note que cette présentation est bien laborieuse par rapport à la résolution instantanée :

Pour montrer que le noyau de $g$, qui admet pour base $(1,1,1)$ est bien le même $F$ que celui qu'on vient de trouver, il n'y a essentiellement rien à dire : si $(v_1,\dots,v_m)$ est une base d'un sous-espace $G$, alors $G=\mathrm{vect}(v_1,\dots,v_m)$ (l'ensemble des combinaisons linéaires de la famille $(v_1,\dots,v_m)$. C'est pour cela qu'une base est utile : elle détermine le sous-espace et mieux, elle permet d'écrire chaque vecteur du sous-espace d'une et une seule façon comme combinaison linéaire. Bref, une fois le système résolu, la fin de la rédaction de ta question tient en une ligne :
\[\ker g=\mathrm{vect}\bigl((1,1,1)\bigr)=F.\]
Voici une autre façon de faire sans résoudre le système. On remarque que le rang de $g$ est $2$ (il suffit de regarder la matrice) et donc que la dimension du noyau de $g$ est $1$ (pourquoi ?). D'autre part, le vecteur $v=(1,1,1)$ appartient au noyau de $g$ (de $f(v)=v$ on déduit $f^2(v)=f(v)=v$). On conclut parce que $F=\mathrm{vect}(v)$ est contenu dans le noyau de $g$ et de même dimension.

Une remarque plus géométrique : quelle est la transformation géométrique qui envoie l'axe des $x$ sur l'axe des $y$, l'axe des $y$ sur l'axe des $z$ et l'axe des $z$ sur celui des $x$ ? Qui permute les axes, en laissant au passage fixe le vecteur $(1,1,1)$ ? Tu vois ça ? Voici un dessin en perspective et un en perspective isométrique. Ce qui ressemble à un cube est bien un cube (pourquoi ?). Ça t'aide ?

C'est la façon dont on code les formules mathématiques. Voici la suite de ce message.

Rendu : v=(1,1,1) contre $v=(1,1,1)$.
x=y et y=z et z=x contre $\begin{cases}x=y\\ y=z\\ z=x\end{cases}$.
Formule centrée : \[x^2+y^2=z^2.\]

Rendu : v=(1,1,1) contre $v=(1,1,1)$.
x=y et y=z et z=x contre $\begin{cases}x=y\\ y=z\\ z=x\end{cases}$.
Formule centrée : \[x^2+y^2=z^2.\]

Bonjour,

Rapidement de mon boulot :

[J]'ai calculé f^-1(x;y;z)=(y;z;x) afin de prouver que f³=Id_R³

Je ne vois pas le rapport. Pour tout $(x,\,y,\,z)\in\Bbb{R}^3$,\[(f\circ{f\circ{f}})(x,\,y,\,z)=(f\circ{f})(z,\,x,\,y)=f(y,\,z,\,x)=(x,\,y,\,z)\]Cordialement,

Thierry