Groupe monogène, cyclique

Par définition, un groupe $G$ est monogène s'il peut être engendré par un élément : il existe $g$ dans $G$ tel que $G=\{g^k,\ k\in\Z\}$.

Bien sûr, à part le groupe trivial, tout groupe (monogène ou pas) peut-être engendré par plusieurs éléments. Par exemple, un groupe monogène engendré par $g$ est aussi engendré par les deux éléments $g^2$ et $g^3$ (pourquoi ?).

Pour ce qui est des groupes cycliques, il y a en effet une légère fluctuation, du moins dans ma tête. Pour Wikipedia, un groupe cyclique est un groupe monogène (je suis cette convention). Il arrive qu'un groupe cyclique soit défini comme un groupe monogène fini.

Qu'est-ce qui est vague ? La définition de « monogène » est aussi précise que n'importe quelle définition et le mot « cyclique » est utilisé de façon différente par différentes personnes. La même chose se passe avec « savoir » qui en Belgique est utilisé au sens de « pouvoir » en France. Exemple : est-ce que tu saurais préciser ta question ? Il n'y a pas de vague ici non plus, dès que l'on a fixé les choses.

Remarque que pour tout élément $g$ dans un groupe, le groupe engendré par $g$ et le groupe engendré par $g^{-1}$ sont les mêmes. Supposons qu'un groupe ne possède qu'un seul générateur, alors $g=g^{-1}$. Cela se produit dans deux cas : soit $g$ est le neutre $e$ (et comme le groupe est monogène, il est trivial, c'est-à-dire réduit à $\{e\}$), soit $g$ est d'ordre $2$ (et comme le groupe est monogène, il est égal à $\{e,g\}$ et isomorphe à $\Z/2\Z$).

À part ces deux groupes, tous les groupes monogènes possèdent plusieurs générateurs (au moins deux) et à part le groupe trivial, tous les groupes possèdent plusieurs parties génératrices non vides (ajout).

Questions intéressantes : quels sont les groupes monogènes qui possèdent exactement deux générateurs (c'est-à-dire les groupes $G$ tels que le cardinal de $\bigl\{g\in G,\ \langle g\rangle=G\bigr\}$ soit $2$) ? pour $m$ entier fixé, quels sont les groupes monogènes qui possèdent $m$ générateurs ? Clé.

Le générateur dont tu parles n'a absolument aucune raison d'être unique. $-1$ engendre $\mathbb Z$ aussi. Ce qu'il faut comprendre c'est juste que si on peut trouver une partie génératrice à un élément, cela veut dire que le groupe est monogène. Il peut (et en général c'est le cas) y en avoir d'autres. Et si de plus le groupe est fini, on dit qu'il est cyclique.

à part le groupe trivial, tous les groupes possèdent plusieurs parties génératrices.

Le groupe trivial $G=\{e\}$ possède lui aussi plusieurs parties génératrices : $\emptyset$ et $G$.

@MathCoss : toi aussi, tu as peur du vide ?

On applique à l'ensemble vide la définition de sous-groupe engendré par une partie d'un groupe :
Le sous-groupe engendré par la partie $A$ du groupe $G$ est le plus petit sous-groupe de $G$ contenant $A$.
Soit $G$ un groupe quelconque. Quel est le sous-groupe de $G$ engendré par $A=\emptyset$ ?

@totem : pourquoi les points d'interrogation ?

Sauf que cyclique fait croire qu’on revient au début au bout d’un certain temps, ce qui n’est manifestement pas le cas de $\Z$.

C’est une question de définition.
Si tu as envie de définir un groupe monogène comme un groupe engendré par deux éléments minimum, libre à toi mais tu risques de perdre tes lecteurs.

À toi (et mon pseudonyme n’a pas d’arobase devant). ;-)

Tu fais comme tu veux, ça doit être un usage importé d’un site de bavardages bien connu que je ne fréquente pas parce que pour fréquenter les forums depuis un bail, cet usage n’existait pas avant.

Sauf que le @ d’une adresse mail dit machin at serveur bidule comme Machin @ Ville bidule.

Bonjour
Pour rebondir avec le sujet. Comme dit précédemment on nous dit qu'un groupe monogène est de la forme <x> = {x^k | k appartient Z}
Or comment on le prouve généralement ?

Par exemple, si j'ai le groupe G={6k : k appartient Z} pour montrer qu'il est monogène.
Pour information : on m'a appris que cyclique c'était monogène fini

Ah oui d'accord je comprends ce que vous voulez me dire !

Peut-on justifier alors le fait que G est monogène car G=<2> ? Et du coup un générateur de ce groupe est 2.

Oui je suis totalement d'accord avec vous. Mais est-ce qu'un générateur doit générer que les éléments du groupe ou peut-il en générer qui ne sont pas dans le groupe.

Pour être sûre d'avoir bien compris. Si je prends maintenant H=Z/102Z est-ce qu'il cyclique ? Parce que par exemple lorsque j'ai Z/6Z c'est assez facile je fais une table de la loi additive. Mais je me demandais s'il y avait une "astuce", une méthode pour répondre à cette question ?

D'accord merci de votre réponse j'avais mal compris la définition en notation additive et que le générateur doit être un élément du groupe.

C'est à dire que pour mon groupe Z/102Z est cyclique car Z/102Z=<1> donc il est engendré par 1 ? Cela semble assez logique.

Je suppose alors que pour trouver l'ordre d'un élément il existe aussi une notation additive. J'ai en effet comme définition : l'ordre de x est le plus petit k appartenant à N tel que x^k=e (avec e l'élément neutre).
Par conséquent dans une notation additive : l'ordre de x est le plus petit k appartenant à N tel que xk=e ?

Par exemple si je reprends le groupe G=Z/102Z et que je cherche tous les éléments d'ordre 3. Je fais 3x=0 donc cela équivaut à 3x mod 102 donc les éléments d'ordre 3 sont : 0 , 34 , 68 , 102 ?

Oui exact !

D'accord tout cela me semble beaucoup plus clair maintenant ! Je vous remercie de vos réponses et je vous souhaite une bonne journée.

0 est d'ordre 1 et pas 3 parce que c'est le neutre c'est ça ?

Par conséquent 102 est-il aussi d'ordre 1 ?

D'accord ! je vous remercie de votre remarque

Bonne journée