Solutions de $x^2=a$
Bonjour,
une fois pour toute, est-ce que l'unique solution de cette équation est $\sqrt a$ ? Si oui, quand est-ce que l'on doit considérer $\sqrt a$ et $-\sqrt a$ ?
Parce que suivant les problèmes mon professeur nous dit qu'il y a les deux qui sont solutions et parfois non, je suis confus.
Merci de votre aide !
une fois pour toute, est-ce que l'unique solution de cette équation est $\sqrt a$ ? Si oui, quand est-ce que l'on doit considérer $\sqrt a$ et $-\sqrt a$ ?
Parce que suivant les problèmes mon professeur nous dit qu'il y a les deux qui sont solutions et parfois non, je suis confus.
Merci de votre aide !
Réponses
-
Si on résout dans $\mathbb{R}$ :
-si $a <0$ il n'y a pas de solution
-si $a=0$ il n'y a qu'une solution ($x=a=0$)
-si $a>0$ il y a deux solutions $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$.
Peut-être que si tu as un exemple on pourra voir s'il y a un souci. -
Soit $a$ un réel strictement positif.
1) l'équation $x^2=a $ d'inconnue $x$ réel possède exactement deux solutions.
2) l'équation $x^2=a $ d'inconnue $x$ réel positif possède exactement une solution.
3) l'équation $x^2=a$ d'inconnue $x$ réel négatif possède exactement une solution.
4) l'équation $x^2=a$ d'inconnue $x$ réel rationnel peut posséder, selon la nature de $a$ aucune solution ou bien deux solutions.
Tout ça pour dire que selon le domaine de l'inconnue, on peut avoir des résultats distincts pour "une même équation" (les guillemets pour préciser qu'il s'agit d'un vocabulaire maladroit).
Edit : le message de @Crapul est peut-être plus clair.
Le plus important étant sont introduction « si on résout dans $\mathbb R$ ». -
Bonjour Adaq.
Pour commencer, mettons nous d'accord. \( a \) est un nombre disons strictement positif.
Une équation est un problème qui fait intervenir
1/ une lettre, ici c'est \( x \).
2/ une égalité, ici c'est \( x^2 = a \).
3/ un ensemble, celui des valeurs admissibles. Ici, c'est ... euh, tu ne l'as pas dit.
Prenons plusieurs exemples d'ensembles de valeurs admissibles:
Si c'est l'ensemble de tous les nombres (nombres relatifs au collège, nombres réels au lycée),
alors ton équation admet deux solutions, \( -\sqrt a \) et \( \sqrt a \).
Si c'est l'ensemble de tous les nombres positif, alors ce n'est plus la même équation, et d'ailleurs ton équation n'admet qu'une solution, à savoir \( \sqrt a \). En effet, \( -\sqrt a \) n'appartient pas à l'ensemble des valeurs admissibles.
Si jamais ton ensemble des valeurs admissibles était l'intervalle \( [ 0 ; \dfrac{\sqrt a}2 \), ton équation (la troisième, elles sont toutes différentes !) n'admettrait pas de solution.
Moralité, chaque fois que tu donnes une équation, tu dois spécifier le 3/ à savoir l'ensemble des valeurs admissibles. Sinon, c'est la pagaïe, plus personne ne sait de quoi l'on parle.
C'est la confusion que tu mentionnes dans ton message.
Alors, tu me diras que personne ne mentionne l'ensemble des valeurs admissibles.
Oui, je sais, et c'est bien pour cela que c'est la pagaïe.
amicalement,
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
PS. Dom (et aussi Crapul) ont dit la même chose que moi.
Je dis ça dans le cas où tu n'aurais pas lu jusqu'au bout, emporté par le sommeil.
e;v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
D'accord premièrement merci de vos explication ;-)
Oui voilà sur quoi je travaillais quand j'ai décidé de venir posez la question :
On me donne $f : [-3, 4] \to \mathbb{R}, f(x) = \sqrt{25 - x^2}$
On me demande ensuite de trouver tous les $c \in [a, b]$ qui remplisse la condition du théorème des accroissement finis. je pose donc le théorème et j'obtiens finalement $c^2 = 1/2$ et seule la solution positive est retenue alors qu'il me semble bien que $-1/\sqrt 2 \in [-3, 4]$
D'où mes interrogations. -
Bonjour.
C'est quoi " la condition du théorème des accroissement finis" ?
Il serait peut-être sain de donner clairement ton énoncé.
Cordialement. -
Trouver tous les c tel que $f'(c) =\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ donc ici $f'(c) = \frac{f(4) - f(-3)}{4 - (-3)}$
-
OK.
Le problème n'est pas le domaine de définition de f, mais ta méthode de résolution de l'équation. Comme tu ne l'as pas présentée, je ne peux pas te dire où tu as raté une marche, mais simplement calcule $\displaystyle f'(-\frac 1 {\sqrt 2})$ pour vérifier si tu as bien $\displaystyle f'(c) = \frac{f(4) - f(-3)}{4 - (-3)}$.
Cordialement. -
Voici un dessin qui atteste que $-1/\sqrt{2}$ ne fonctionne pas. Rappelle-toi que « la condition du théorème des accroissements finis » signifie que la pente de la tangente au point $C(c,f(c))$ est égale à la pente de la droite $(AB)$ où $A(a,f(a))$ et $B(b,f(b))$. La droite rouge est la tangente au point d'abscisse $-1/\sqrt{2}$, elle n'est visiblement pas parallèle à la droite $(AB)$.
Quant à ton erreur, il est plausible que ce soit la suivante. Tu as écrit « la condition du théorème des accroissements finis » sous la forme \[\frac{-x}{\sqrt{25-x^2}}=-\frac17,\]puis tu as dit que cette égalité est équivalente $7x=\sqrt{25-x^2}$, ce qui est correct. De là, tu es passé à $49x^2=25-x^2$. C'est là que se trouve ton erreur.
Il est vrai que si $7x=\sqrt{25-x^2}$, alors $49x^2=25-x^2$. Pourquoi la réciproque est-elle fausse ?
[Il manquait un délimiteur "}" dans la formule hors texte. Bruno] -
Une façon de voir l'équation $\sqrt{25-x^2}=7x$.
[Merci Bruno pour la correction.]
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.8K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 52 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres