Sens de variation d'une suite

shinitchi · May 2018

Bonjour à tous, je cherche désespérément une suite pour laquelle on pourrait déterminer son sens de variation en étudiant le quotient $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ mais pas en étudiant la différence $u_{n+1}-u_n$.

Ce qui justifierait le fait d'apprendre cette technique à un élève. Parce qu'avec toutes les suites de la plupart des bouquins, même définies par des puissances ou des quotients, on arrive toujours à déterminer son sens de variation avec la méthode $u_{n+1}-u_n$ en effectuant une mise au même dénominateur.

Merci d'avance.

Dom · May 2018

A peu de choses près, c'est équivalent donc ça va être difficile.

Cela dit, je pense à cet exemple où le quotient (même difficile à bricoler) est plus commode à étudier que la différence, en page 2 de ce document : https://www.math.ens.fr/~debarre/Exponentielle-Log.pdf.

Il s'agit de la méthode d'Euler pour la construction de l'exponentielle.

Je ne sais pas si c'est vraiment ce que tu attends.

shinitchi · May 2018

Merci Dom pour ta réponse. Malheureusement j'obtiens la même chose en étudiant le quotient et la différence pour cette suite aussi.
En fait, je ne vois pas comment vendre l'outil quotient à des élèves qui n'en n'ont pas le besoin surtout au lycée.

Merci quand même.

Math Coss · May 2018

shinitchi a écrit:

Malheureusement j'obtiens la même chose en étudiant le quotient et la différence pour cette suite aussi.

Je veux bien voir tes calculs.

Une autre suggestion : comparer $\binom{n}{k}$ et $\binom{n}{k+1}$ (pour $k$ et $n$ entiers avec $0\le k\le n-1$), pour déterminer le $k$ pour lequel $\binom{n}{k}$ est maximal (à $n$ fixé). Problème : plus de factorielle au lycée, c'est ça ?

Edit : Je m'objecte tout seul : \[\binom{n}{k+1}=\frac{n-k}{k+1}\binom{n}{k}\quad
\text{donc}\quad \binom{n}{k+1}-\binom{n}{k}=\frac{n-2k-1}{k+1}\binom{n}{k},\]dont le signe dépend clairement de la position de $k$ par rapport à $n-\frac12$.

gerard0 · May 2018

Bonjour Shinitchi.

Tout simplement les suites géométriques.

Cordialement.

Math Coss · May 2018

J'objecte : on évacue les suites de raison négative qui oscillent visiblement (le signe change à chaque indice) ; pour une raison $q$ positive, on écrit $q^{n+1}-q^n=q^{n}(q-1)$ : c'est très facile à étudier avec la différence.

gerard0 · May 2018

J'avais évidemment évacué le impossible, car la même méthode montre que les deux techniques sont toujours possibles pour des suites possiblement monotones :
$u_{n+1}-u_n = u_n(\frac{u_{n+1}}{u_n}-1)$

Math Coss · May 2018

Alors, la quête de shinitchi est sans espoir ?

(Pour la raison négative, je ne t'accusais pas, j'ouvrais le parapluie.)

gerard0 · May 2018

C'est ce que disait Dom, il ne restait donc que la facilité.

Cordialement.

shinitchi · May 2018

@Math Coss

$\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{\left(\dfrac{n+x+1}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(\dfrac{n+x}{n}\right)^{n}}$

$\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\left(\dfrac{n+x+1}{n+1}\right) \times \dfrac{\left(\dfrac{n+x+1}{n+1}\right)^{n}}{\left(\dfrac{n+x}{n}\right)^{n}}$

$\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\left(\dfrac{n+x+1}{n+1}\right) \times \left(\dfrac{n(n+x+1)}{(n+x)(n+1)}\right)^n$

$\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{n^n(n+x+1)^{n+1}}{(n+x)^n(n+1)^{n+1}}$

et avec la différence :

$u_{n+1}-u_n=\left(\dfrac{n+x+1}{n+1}\right)^{n+1} - \left(\dfrac{n+x}{n}\right)^{n}=\dfrac{n^n\times (n+x+1)^{n+1}-(n+x)^n(n+1)^{n+1}}{(n+1)^{n+1}n^n}$

ce qui revient dans les deux cas à comparer $n^n\times (n+x+1)^{n+1}$ avec $(n+x)^n(n+1)^{n+1}$.

@gerard0, comme vous l'avez dit avec Math Coss les suites géométriques ne rendent malheureusement pas impossible l'étude de la différence "à cause" de la factorisation...

Merci quand même à vous.

Math Coss · May 2018

Merci pour la patience et pour les calculs (on peut abréger un peu la version quotient). La preuve sur le poly de Debarre et Bopp indiquée par Dom est plus inspirée mais elle permet de donner un principe pour justifier l'inégalité (la convexité de $x\mapsto (1+x)^n$).

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