Factorielle
Bonjour,
je ne suis pas un matheux et je veux simplifier cette équation pour obtenir un seule somme .
\sum_{k=1}^3 \sum_{i=0}^k (b)i/ i! * (a)k-i/(k-i)!
J'essaye de faire ceci
\sum_{k=1}^3 \sum_{i=0}^k (b)i/ i! * (a)k-i/(k-i)!
= \sum_{k=1}^3 \sum_{i=0}^k (a)k-i (b)i * k!/i! (k-i)! *1/k!
=\sum_{k=1}^3 \sum_{i=0}^k c(k i) (a)k-i (b)i *(1/k!)
=\sum_{k=1}^3 (a+b)k (1/k!)
Avez-vous une idée ?
merci
je ne suis pas un matheux et je veux simplifier cette équation pour obtenir un seule somme .
\sum_{k=1}^3 \sum_{i=0}^k (b)i/ i! * (a)k-i/(k-i)!
J'essaye de faire ceci
\sum_{k=1}^3 \sum_{i=0}^k (b)i/ i! * (a)k-i/(k-i)!
= \sum_{k=1}^3 \sum_{i=0}^k (a)k-i (b)i * k!/i! (k-i)! *1/k!
=\sum_{k=1}^3 \sum_{i=0}^k c(k i) (a)k-i (b)i *(1/k!)
=\sum_{k=1}^3 (a+b)k (1/k!)
Avez-vous une idée ?
merci
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Réponses
je ne suis pas un matheux et je veux simplifier cette équation pour obtenir un seule somme .
\[ \sum_{k=1}^3 \sum_{i=0}^k (b)^i/ i! * (a)^{k-i}/(k-i)! \]
j'essaye de faire ceci
\begin{align*}
\sum_{k=1}^3 \sum_{i=0}^k (b)^i/ i! * (a)^{k-i}/(k-i)! &= \sum_{k=1}^3 \sum_{i=0}^k (a)^{k-i} (b)^i * k!/i! (k-i)! *1/k!\\
&=\sum_{k=1}^3 \sum_{i=0}^k C_k^i (a)^{k-i} (b)^i *(1/k!)\\
&=\sum_{k=1}^3 (a+b)^k (1/k!)
\end{align*}
avez vous une idée?
merci
pcc
e.v.
\sum_{k=1}^3 \sum_{i=0}^k \frac{b^i}{i!}\times\frac{ a^{k-i}}{(k-i)!}
&= \sum_{k=1}^3 \sum_{i=0}^k \frac{a^{k-i} b^i k!}{i! (k-i)!}\times\frac1{k!}\\
&=\sum_{k=1}^3 \sum_{i=0}^k \binom{k}{i}a^{k-i}b^i \times\frac1{k!}\\
&=\sum_{k=1}^3 \frac{(a+b)^k}{k!}. \end{align*}Ce qui est écrit est irréprochable. Je ne vois pas comment aller plus loin : si on remplaçait $3$ par $+\infty$, on trouverait $\mathrm{e}^{a+b}-1$ mais je ne connais pas d'expression plus compacte des sommes partielles de l'exponentielle.